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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $A C C_{1} A_{1}$ 均为矩形，点D是棱 $C_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A B_{1} ∥$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ．
（Ⅰ）求直线 $A B_{1}$ 到平面 $A_{1} D C$ 的距离；
（Ⅱ）在棱 $C C_{1}$ 上是否存在点M，使得直线 $A M$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，如果存在，求出 $\frac{C M}{C C_{1}}$ 的值，如果不存在，说明理由．

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2、在 $△ A B C$ 中， $a = 1$ ， $c \sin A = \sqrt{3} a \cos C$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断 $△ A B C$ 是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出 $△ A B C$ 的面积.条件①： $\cos A \cos C = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ；条件②： $b^{2} - c^{2} = a c$ ；条件③： $a, b, c$ 成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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3、斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是.

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4、将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为.

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5、 ${(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是.

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6、已知M为 $△ A B C$ 所在平面内的一点， $| \vec{M B} | = | \vec{M C} | = 1$ ，且 $\vec{A B} = \vec{M B} + \vec{M C}, \vec{M B} \cdot \vec{M C} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*}), S_{n}$ 为其前n项和.若 $a_{2} = 2$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、20 B、30 C、31 D、62

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8、已知直线 $l : a x + b y = 1$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 的一条对称轴，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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9、已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a > b$ ，则

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sin a > \sin b$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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10、已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 i}$ （其中i是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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11、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的菱形， $∠ B C D = 60 °$ ， E是 $C D$ 的中点， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P B E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 和平面 $P B E$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求点D到平面 $P B E$ 的距离.

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{5}, 0), F_{2} (\sqrt{5}, 0), ||M F_{1}| - |M F_{2}|| = 4$ ，动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = - \frac{3}{4} x + t$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{11}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $E$ ，若 $A$ 为 $C$ 上一点， $∠ A F E$ 为钝角，且 $\frac{|A F|}{|A E|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $|A F| =$ .

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14、正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} = 1$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{4}{a_{6}}$ 的最小值为．

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 3, x < 0 \\ \log_{2} x, x \geq 0 \end{cases}$ ，则 $f [f (- \frac{1}{2})]$ 的值等于．

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16、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，底面 $C D E F$ 是边长为 $2$ 的正方形， $A E = A F = B D = B C$ ， $A B / /$ 平面 $C D E F$ ， $A B = 1$ ， $A B$ 到底面的距离为 $\sqrt{2}$ ，点 $S$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 在四边形 $C D E F$ 内部（含边界）.则下列选项中正确的是（）

A、该五面体的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、存在点 $P$ ，使得 $S P / /$ 平面 $A B D E$ C、存在点 $P$ ，使得 $A P + B P = \frac{\sqrt{35}}{2}$ D、若 $B P = \frac{3}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $π$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右两个焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其中 $| F_{1} F_{2} | = 2 c (c > 0)$ ，直线 $l$ 经过左焦点 $F_{1}$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则下列说法中正确的（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为 $4 a$ B、当直线 $A B$ 的斜率存在时，记 $k_{A B} = k (k \neq 0)$ ，若 $A B$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点，则 $k_{O M} \cdot k = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ C、若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 3 c^{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{1}{2}]$ D、若 $|A B|$ 的最小值为 $3 c$ ，则椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$

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18、设函数 $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x}$ ，则（）

A、 $f (π - x) = - f (x)$ B、 $f (π + x) = f (x)$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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19、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a ＞ 0, b ＞ 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，若 $E$ 上点 $A$ 满足 $|A F_{1}| = 2 |A F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的取值范围为 $[\frac{2 π}{3}, π]$ ，则 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3}, \sqrt{5}]$ B、 $[\sqrt{7}, 3]$ C、 $[3, 5]$ D、 $[7, 9]$

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20、已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 6 = 0$ 上的动点，则下面说法正确的是（）

A、圆的半径为2 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$ C、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + 2 x_{0} + 3$ 的最小值为 $16 - \sqrt{2}$ D、 $x_{0} + y_{0}$ 的最大值为5

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