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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 都是正项等比数列，则（）

A、数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{lg (a_{n} b_{n})\}$ 是等差数列 D、数列 $\{a_{n}^{b_{n}}\}$ 是等比数列

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2、纸上画有一圆O，在圆内任取一定点 $A ($ 异于点 $O)$ ，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕 $l .$ 继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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3、反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（）

A、 $x^{2} - y^{2} = 1$ B、 $y^{2} - x^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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4、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1} + (n + 1) a_{n + 1}^{2} = 1$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、2024 D、 $\frac{1}{2024}$

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5、已知圆C： $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ ，直线l： $y = k (x - 2) + 1$ ，则直线l被圆C截得的最短弦长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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6、已知方向向量为 $(1, 2)$ 的直线倾斜角为 $α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7、已知抛物线C： $y = 4 x^{2}$ ，则抛物线C的准线方程为（）

A、 $y = - \frac{1}{16}$ B、 $y = \frac{1}{16}$ C、 $y = 1$ D、 $y = - 1$

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8、已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} + a_{4} = 5$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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9、已知 $\vec{a} = (1, 0, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 2, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $- 1$ C、1 D、0

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10、命题 $p : \forall x \in R$ ， $a x^{2} + 2 x + 5 > 0$ 为假命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a < \frac{1}{5}$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \leq \frac{1}{5}$ D、 $a \geq \frac{1}{5}$

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11、已知函数 $f (x) = (a x - 1) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证：当 $x > - 1$ 时， $f (x) \geq e^{x} \ln (x + 1) - x - 1$ .

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12、某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织 $A$ 、 $B$ 两团体运动员进行比赛.其中 $A$ 团体的运动员3名，其中种子选手2名； $B$ 团体的运动员5名，其中种子选手 $m (1 \leq m \leq 5)$ 名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)、已知 $m = 2$ ，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体 $A$ 的概率；

(2)、已知 $m = 1$ ，设 $X$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列及其期望.

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13、已知集合 $A = \{y |y = 4 x - 16, x \in [2, 3]\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 3 x - a^{2} - 3 a > 0, a > 0\}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若命题“ $x \in A$ ”是命题“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = |x - a| + x + \frac{3}{x} + ||x - a| - x - \frac{3}{x} + 2|$ .若函数 $f (x) \geq 6$ 对一切 $x \in R^{+}$ 均成立，则实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = 3 \cdot 2^{x} + 2$ ，对于任意的 $x_{2} \in [0, 1]$ ，都存在 $x_{1} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) + 2 f (x_{2} + m) = 13$ 成立，则实数m的取值范围为．

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16、已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x > 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ ，则当 $x < 1$ 时的解析式 $f (x) =$ .

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17、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 $X$ 所有可能的取值为1，2，…，n，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .下列正确的为（）

A、若 $n = 1$ ，则 $H (X) = 0$ B、若 $n = 2$ ，则 $H (X)$ 随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则 $H (X)$ 随着 $n$ 的增大而增大 D、若 $n = 2 m$ ，随机变量 $Y$ 所有可能的取值为1，2，…，m，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1, 2, \dots, m)$ ，则 $H (X) \geq H (Y)$

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18、“ $[x]$ ”表示不大于 $x$ 的最大整数，例如： $[3.8] = 3$ ， $[- 1.4] = - 2$ ， $[- 4] = - 4$ .下列关于 $[x]$ 的性质的叙述中，正确的是（）

A、 $[x - y] \leq [x] - [y]$ B、若 $|\frac{[y]}{[x]}| \leq 1$ ，则 $|x - y| < 1$ C、若函数 $f (n)$ 的解析式为 $f (n) = [\sqrt{n (n + 1)}]$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\sum_{n = 1}^{64} f (n) = 2080$ D、 $M = [\frac{2}{3}] + [\frac{2^{2}}{3}] + [\frac{2^{3}}{3}] + \dots + [\frac{2^{2024}}{3}]$ 被3除余数为1

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19、设函数 $f (x)$ ， $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且函数 $f (2 x - 1)$ ， $f^{'} (x - 2)$ 均为偶函数.若当 $x \in [1, 2]$ 时， $f^{'} (x) = a x^{3} + 4$ ，则 $f^{'} (90)$ 的值为（）

A、 $- 42$ B、 $- 35$ C、 $- 28$ D、 $- 21$

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20、若关于 $x$ 的不等式 $2 + ln x \leq a x + b \leq e^{x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{e}, 1]$ B、 $[1, \sqrt{e}]$ C、 $[1, e]$ D、 $[\frac{1}{e}, e]$

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