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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + \frac{5}{2} a, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[1, 2)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(0, 1]$

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2、著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 $θ_{1} ° C$ ，空气温度为 $θ_{0} ° C$ ，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ （单位： $° C$ )满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ .若常数 $k = 0.05$ ，空气温度为 $30 ° C$ ，某物体的温度从 $110 ° C$ 下降到 $40 ° C$ 以下，至少大约需要的时间为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ）

A、40分钟 B、41分钟 C、42分钟 D、43分钟

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3、已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3}, B = {x | x \leq 0, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $[0, 3]$ D、 $\{- 1, 0\}$

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4、如图，已知菱形 $A B C D$ 和等边三角形 $B C E$ 有公共边 $B C$ ，点B在线段 $A E$ 上， $B C$ 与 $D E$ 交于点O，将 $△ B C E$ 沿着 $B C$ 翻折成 $△ P B C$ ，得到四棱锥 $P - A B C D$ ， $B C = 2$ ．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P O D$ ；

(2)、若 $D P = \sqrt{3}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

(3)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 夹角正弦值的最大值．

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5、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $c \sin 2 B = \frac{2 b \tan C}{\tan B + \tan C}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{5}, c = 2$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，求 $A D$ 的长．

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6、直线 $y = k x + b$ 与函数 $y = e^{x - 2}$ 和 $y = e^{x} - 1$ 的图象都相切，则 $k + b =$ ．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + 3^{n - 1} a_{n} = n \cdot 3^{n}$ ，则 $a_{2025} =$ ．

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8、对于正整数 $n, φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 $φ (10) = 4$ （10与1，3，7，9均互质），则（）

A、 $φ (20) + φ (25) = 28$ B、若p为质数，则数列 $\{φ (p^{n})\}$ 为等比数列 C、数列 $\{\frac{n}{φ (3^{n})}\}$ 的前5项和等于 $\frac{179}{81}$ D、 $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $2 [φ (3^{n}) + φ (4^{n})] = φ (5^{n})$

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点 $M (x_{0}, 4)$ 在抛物线C上，直线 $M O, M F$ 分别与l交于A，B，直线 $M F$ 与抛物线C交于另一点N，则（）

A、F的坐标为 $(2, 0)$ B、 $|M F| = 5$ C、 $|A B| = \frac{5}{3}$ D、 $S_{△ O F M} > 2 S_{△ A B N}$

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10、下列说法正确的是（）

A、数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2 B、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的标准差为s，则数据 $2 x_{1}, 2 x_{2}, \dots, 2 x_{n}$ 的标准差为 $2 s$ C、随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 0) = \frac{4}{5}$ ，则 $P (0 < X < 2) = \frac{3}{5}$ D、随机变量 $Y ~ B (4, p)$ ，若 $D (Y) = \frac{3}{4}$ ，则 $E (Y) = 1$

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11、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{2} = 3, S_{4} = 15$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、255 B、127 C、66 D、39

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12、已知角 $α$ 终边上一点 $P (2, 1)$ ，则 $\frac{1 + \sin 2 α}{\cos 2 α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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13、某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是 $\hat{y} = 0.5 x + 2.3$ ，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（）
第x年
1
2
3
4
5
6
7
利润y/亿元
$2.9$
$3.3$
$3.6$
m
$4.8$
$5.2$
$5.9$

A、 $0.1$ 亿元 B、 $0.2$ 亿元 C、 $- 0.1$ 亿元 D、 $- 0.2$ 亿元

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14、二项式 ${(\frac{2}{\sqrt{x}} - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、160 B、60 C、 $- 160$ D、 $- 60$

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15、已知函数 $f (x) = a e^{x} - sin x - a$ ．（注： $e = 2.718281 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内有唯一的极值点 $x_{1}$ ．
①求实数 $a$ 的取值范围；
②求证： $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内有唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} < 2 x_{1}$ ．

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16、已知函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = 2 \cdot 3^{x}$ .

(1)、证明： $f (x) - g (- x) = 2 \cdot 3^{- x}$ ，并求函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 的解析式；

(2)、直接说明函数 $g (x)$ 的单调性，并解关于 $x$ 不等式： $g (x^{2} + 4 x) + g (x - 6) > 0$ ；

(3)、设 $p (x) = \frac{3^{x} - 2}{3^{x} + 2}$ ， $h (x) = f (2 x) - 2 g (x) + 2 m - 3$ ，对于 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in [0, + \infty)$ ，使得 $p (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．
车型
低收入群体（ $<$ 20万/年）
中收入群体（20万/年-50万/年）
高收入群体（ $>$ 50万/年）

愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
EV
70
30
70
50
40
40
PHEV
20
80
60
60
60
20
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．

(1)、从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率 $p$ ；

(2)、从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记 $X$ 为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、假设该市 $C$ 社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为 $3 : 1 : 1$ ，从 $C$ 社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为 $p_{A}$ ，试比较 $p_{A}$ 与 $p$ 的大小．

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18、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且 $\frac{c}{b} = \frac{\sin^{2} C}{\cos C \cos B + 2 \cos^{2} A}$ ．

(1)、求A；

(2)、设D为 $A B$ 的中点，若 $C D = B C$ ，且 $b + c = 10$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、已知函数 $f (x) = (a x + 2) e^{x} - x - 2$ ，则（）

A、当 $a = 0$ ， $x_{1} > x_{2}$ 时， $f (x_{1}) - f (x_{2}) > x_{2} - x_{1}$ B、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有最值 C、当 $- 2 < a \leq - 1$ 时， $f (x)$ 为减函数 D、当 $f (x) < 0$ 仅有一个整数解时， $a \in [0, 1]$

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20、已知函数 $f (x) = 4 \cos^{2} x - 2 \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x) = 3 \cos 2 x$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上的值域为 $(- \frac{1}{2}, 4]$

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车型	低收入群体（ $<$ 20万/年）		中收入群体（20万/年-50万/年）		高收入群体（ $>$ 50万/年）
	愿意	不愿意	愿意	不愿意	愿意	不愿意
EV	70	30	70	50	40	40
PHEV	20	80	60	60	60	20

第x年	1	2	3	4	5	6	7
利润y/亿元	$2.9$	$3.3$	$3.6$	m	$4.8$	$5.2$	$5.9$