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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (1 - x) {(4 - x)}^{2} + 2$ ，则（）

A、点 $(3, 0)$ 是 $f (x)$ 图像的对称中心 B、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (4 - x) > f (x)$ D、当 $1 < x < 2$ 时， $- 2 < f (2 x) < 2$

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2、甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有5个白球和5个黑球；乙盒子中装有4个白球和6个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记 $A_{1}$ 表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记 $B_{1}$ 表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”， $B_{2}$ 表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是互斥事件 B、 $A_{1}$ ， $B_{2}$ 是独立事件 C、 $P (B_{2} |A_{2}) = \frac{7}{11}$ D、 $P (B_{2} |A_{1}) + P (B_{1} |A_{2}) = \frac{10}{11}$

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3、已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
5
P
a
$2 a + 0.2$
$a + 0.2$
2a
则下列说法正确的是（）

A、 $a = 0.2$ B、 $E (X) = 2$ C、 $D (X) = 2.6$ D、 $E (2 X + 6) = 9$

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4、若函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}} (a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则（）

A、 $a b < 0$ B、 $b c < 0$ C、 $b^{2} + 8 a c < 0$ D、 $a c > 0$

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5、已知 ${(x \sqrt{x} + \frac{t}{x})}^{6} (t > 0)$ 的展开式中唯有第5项的系数最大，则t的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{5}{3}]$ D、 $(\frac{4}{3}, \frac{5}{2})$

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6、某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（）

A、624 B、528 C、312 D、264

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7、已知 $\frac{\cos α}{\cos α - \sin α} = 2$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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8、某学校4000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布 $X ~ N (90, σ^{2})$ ，且成绩在 $[90, 100]$ 的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数为（）

A、200 B、400 C、2800 D、2000

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9、已知角α的终边经过点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ 的最小正周期是（）

A、 $π$ B、 $2π$ C、 $3π$ D、 $4π$

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11、给出的下列选项中，正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = 2^{x}$ B、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ C、 ${(- \frac{1}{x^{2}})}^{'} = \frac{2}{x^{3}}$ D、 ${(\sin 2 x)}^{'} = \cos 2 x$

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12、如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交 $M P$ 的延长线于点Q，使得 $S_{△ O Q M} = 2 S_{△ O P M}$ ，记 $∠ M O P = α$ ， $∠ Q O M = β$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{\sin (- β) + \cos (π - β)}{cos (\frac{π}{2} - β) + sin (\frac{3 π}{2} + β)}$ 的值；

(2)、已知函数 $f (α) = 1 - 2 m - 2 m \sin α - 2 \cos^{2} α$ ， $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，记 $f (α)$ 的最小值为 $g (m)$ ．若 $g (m) = \frac{1}{2}$ ，求m的值及此时 $f (α)$ 的最大值．

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13、设 $n$ 为正整数，由互不相同的正实数构成数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ .

(1)、请给出一个数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，使得 $a_{1} a_{2}$ ， $a_{2} a_{3}$ ， $a_{3} a_{1}$ 成等比数列；

(2)、若 $a_{1} a_{2}$ ， $a_{2} a_{3}$ ， …， $a_{n - 1} a_{n}$ ， $a_{n} a_{1}$ 为等比数列，求所有的 $n$ ；

(3)、将所有的 $a_{i} a_{j}$ （ $1 \leq i < j \leq n$ ）按照一定顺序排成一列数，若这一列数是递增的等比数列，求所有的 $n$ .

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14、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的左，右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交双曲线左支于 $A$ ， $A^{'}$ 两点，过 $F_{2}$ 的直线 $l^{'}$ 交双曲线右支于 $B$ ， $B^{'}$ 两点（点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上方），且 $l^{'} // l$ ，直线 $F_{1} B$ ， $F_{2} A$ 交于 $P$ 点.

(1)、当 $l ⊥ x$ 轴时，求 $P$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{B P} = 3 \vec{P F_{1}}$ ，求直线 $l$ 的斜率；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，求 $|O P|$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x + a}$ ， $g (x) = \ln x$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求证： $g (x) < x < f (x)$ ；

(2)、若方程 $f (x) = g (x) - a$ 有2个不同的解，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} - 1) \cdot (a_{n + 1} - 1)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ .

(1)、求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求证：直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ .

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18、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .设 $n$ 为常数，当 $a$ 变化时， $n x_{1} + x_{2} + (n + 1)$ 有最小值 $e$ ，则常数 $n$ 的值为.

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 与公差 $d$ 均为正整数，且各项的和为49，则 $a_{1} =$ .

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20、设函数 $f (x) = x \ln x$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2} + x) + f (\frac{1}{2} - x) < 0$ B、当 $0 < x < \frac{1}{3}$ 时， $f (\frac{x}{2} + \frac{1}{6}) < f (x)$ C、当 $0 < x < \frac{1}{3}$ 时， $f (x) < f (\frac{2}{3} - x)$ D、当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, 1)$ 时， ${|f (x_{1}) - f (x_{2})|}^{2} \leq |x_{1} - x_{2}|$

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X	0	1	2	5
P	a	$2 a + 0.2$	$a + 0.2$	2a