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相关试卷

1、已知 $10^{a} = 2$ ， $10^{b} = 3$ ，则下列运算正确的是（）

A、 $10^{\frac{a + b}{2}} = \sqrt{6}$ B、 $10^{\frac{a - b}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{a}{b} = {log}_{3} 2$ D、 $a b = lg 6$

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2、设函数 $f (x) = sin 2 x - sin x$ 在 $[- 2 π, 4 π]$ 上的零点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} =$ （）

A、 $6 π$ B、 $7 π$ C、 $9 π$ D、 $13 π$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x + 3 ， x \leq 0 \\ - 2 + ln x ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有三个不同的实数解，则k的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $[3 ， 4)$ D、 $(3 ， 4)$

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4、如图，单位圆O内接一个圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形 $A B C$ ，则扇形 $A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5、设a， $b \in R$ ，则“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、既不充分也不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、充分不必要条件

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 单调递增且是偶函数 B、 $f (x)$ 单调递增且是奇函数 C、 $f (x)$ 单调递减且是偶函数 D、 $f (x)$ 单调递减且是奇函数

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7、设集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {x | x < a - 1}$ ，满足 $A \subseteq B$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 ${a | a \leq - 1}$ B、 ${a | a \geq - 1}$ C、 ${a | a \geq 2}$ D、 ${a | a \leq 2}$

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8、 $tan (- 330^{\circ})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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9、数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为 $A (0, 0), B (0, 4), C (4, 4)$ ，则△ABC欧拉线的方程为（）

A、x+y-4=0 B、x-y+4=0 C、x+y+4=0 D、x-y-4=0

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10、高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过 $m$ ( $40 < m \leq 100$ )人时，每增加 $1$ 人，人均收费降低 $1$ 元；超过 $m$ 人时，人均收费都按照 $m$ 人时的标准．设景点接待有 $x$ 名游客的某团队，收取总费用为 $y$ 元．
（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求 $m$ 的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = a^{x}^{- 1} (a ＞ 0, a \neq 1)$ 的图象经过点 $(3 ， \frac{1}{9})$ ．
（1）求 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x) = a^{2 x} - a^{x}^{- 2} + 8$ ，当 $x \in [- 2 ， 1]$ 时的值域．

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ；
（1）求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式并画出函数 $f (x)$ 的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）
（2）（ⅰ）写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；
（ⅱ）若方程 $f (x) + m =0$ 在 $[0, + \infty)$ 上有两个不同的实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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13、已知 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} + x - 1}}$ ， $B = {x | 1 - m \leq x \leq 1 + m}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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14、国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量 $N (mg/L)$ 与时间的关系 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物数量）.如果前3个小时消除了 $20 %$ 的污染物，那么污染物消除至最初的 $64 %$ 还要（）

A、 $2.6$ 小时 B、3小时 C、3.2小时 D、4小时

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ ，若对区间 $(2, + \infty)$ 内的任意两个不等实数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[- \frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{5}{2}]$

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16、设 $x \in R$ ，则“ $x \geq 1$ ”是“ $x^{2} - x \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $A = \{1, a, a^{2} - 1\}$ ， $B = \{0, 1\}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则a＝（）

A、0或 $- 1$ B、0或1 C、1或 $- 1$ D、0

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18、已知函数 $f_{n} (x) = \ln x - \frac{n}{x} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ），且 $f_{n} (x)$ 有唯一零点 $a_{n}$ .

(1)、证明： $f_{1} (x) \geq 2 - \frac{2}{x}$ ；

(2)、证明： $2 \ln \frac{n + 2}{2} < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ ；

(3)、判断数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由.

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19、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的虚轴长为2，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线E的标准方程：

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点 $C (2, \sqrt{3})$ ，直线BC与直线 $x = 3$ 交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ M B C$ ， $△ A B N$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $△ P A B$ 是边长为2的等边三角形，F为BC的中点.

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若直线AP与DF的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

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