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相关试卷

1、某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：
等级
不及格
及格
良
优
分数
1
2
3
4
人数
3
9
5
3

(1)、若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；

(2)、用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.
（ⅰ）若 $n = 3$ ，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）若 $n = 20$ ，当k为何值时， $P (X = k)$ 最大？

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 6 b c sin A$ .

(1)、求 $sin A$ 的值；

(2)、若 $C = \frac{π}{4}$ ， $a = 3$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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3、已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的 $\frac{1}{9}$ ，所有侧棱长均为 $\sqrt{6}$ .当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为.

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4、已知直线 $k x + y + 1 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 交于A，B两点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ，则 $k =$ .

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5、已知函数 $f (x) = x (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则 $a =$ .

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6、已知平面内动点 $P (x, y)$ 到定点 $F (0, 2)$ 的距离与到定直线l： $y = 4$ 的距离之和等于6，其轨迹为曲线 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $y \leq 4$ ，则点 $P$ 的轨迹是以 $F (0, 2)$ 为焦点的抛物线的一部分 B、 $P$ 点横坐标的取值范围是 $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$ C、若过点 $F$ 的直线与曲线 $C$ 的 $y \geq 4$ 部分图象和 $y < 4$ 部分图象分别交于 $A, D$ ，则 $|A F| = 2 |D F|$ D、对给定的点 $T (- 2, t)$ （ $t \in R$ ），用 $m (t)$ 表示 $|P F| + |P T|$ 的最小值，则 $m (t)$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$

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7、已知函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 C、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $|f (x)| \leq 3 |x|$

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8、下列说法中，正确的有（）

A、具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强 B、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ，则 $P (0 < ξ < 2) = 0.3$ C、数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30 D、若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数

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9、如果数列 $\{a_{n}\}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} + a_{n} > 2 a_{n + 1}$ 成立，则称 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”.若数列 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”，且任意项 $a_{n} \in Z$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{k} = 2025$ ，则正整数k的最大值为（）

A、62 B、63 C、64 D、65

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10、若函数 $f (x) = a e^{x} - x^{3}$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递增，则实数a的最小值为（）

A、 $\frac{3}{e}$ B、 $\frac{12}{e^{3}}$ C、 $\frac{12}{e^{2}}$ D、 $\frac{27}{e^{3}}$

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11、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，点 $F (- 1, 0)$ ，若直线 $x + λ y - 1 = 0$ （ $λ \in R$ ）与椭圆E交于A，B两点，则 $△ A B F$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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12、 ${(1 - 2 x)}^{7}$ 的展开式的第4项系数是（）

A、 $- 280$ B、280 C、 $- 560$ D、560

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13、已知 $\tan α = \frac{4}{3}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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14、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 15$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、40 B、45 C、50 D、55

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15、若复数z满足 $(1 - 2 i) z = 4 - 3 i$ ，则z在复平面内对应的点为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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16、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ， $B = \{x |x \geq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $(2, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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17、为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $- 1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $- 1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $p_{i} (i = 0, 1, \dots, 8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_{0} = 0$ ， $p_{8} = 1$ ， $p_{i} = a p_{i - 1} + b p_{i} + c p_{i + 1}$ $(i = 1, 2, \dots, 7)$ ，其中 $a = P (X = - 1)$ ， $b = P (X = 0)$ ， $c = P (X = 1)$ ．假设 $α = 0.5$ ， $β = 0.8$ ．
(i)证明： ${p_{i + 1} - p_{i}}$ $(i = 0, 1, 2, \dots, 7)$ 为等比数列；
(ii)求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性．

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18、 $y = sin (\frac{π}{2} + sin x)$ 的奇偶性是（）

A、偶函数 B、奇函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

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19、2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为 $2 α$ ，截面与圆锥的轴所成角为 $β$ 时，则截口曲线的离心率 $e = \frac{cos β}{cos α}$ ，当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的平面与圆锥截得的等腰三角形）已知母线长为6的圆锥 $S O$ ，轴截面 $S A B$ 为等边三角形， $\vec{S M} = \frac{1}{3} \vec{S B}$ .

(1)、当过 $M$ 的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥 $S O$ 的底面与截面圆之间的部分的体积；

(2)、过 $M$ 的平面截圆锥得到一个椭圆 $E$ ，截面与 $S O$ 交于点 $Q$ ，与 $S A$ 交于点 $N$ ， $R$ 为椭圆 $E$ 上一点， $R Q$ 与 $A B$ 垂直且与圆锥底面平行， $|R Q| = \frac{4}{3}$ .
①判断 $M N$ 是否为椭圆的长轴，并说明理由；
②判断 $Q$ 是否为椭圆的焦点，并说明理由.

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20、如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成，其中球面半径为2分米，圆柱面高为4分米.（忽略玻璃厚度）

(1)、求该玻璃罩外壁的面积；

(2)、若将该玻璃罩倒置后装水，求最多能装多少升水？

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等级	不及格	及格	良	优
分数	1	2	3	4
人数	3	9	5	3