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相关试卷

1、集合 $A = \{x | - 2 \leq x < 3\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 5 x + 6 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | - 2 \leq x < 3\}$ B、 $\{x | - 2 \leq x \leq 3\}$ C、 $\{x | 2 \leq x < 3\}$ D、 $\{x | 2 < x \leq 3\}$

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2、已知直线 $l_{1} : k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $P$ ，且交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ 、交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ，点 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $|P A| \cdot |P B|$ 的最小值，并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

(2)、 $△ A B O$ 的面积为S（ $O$ 为坐标原点），求S的最小值并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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3、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ，点 $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $E B_{1} ⊥$ 平面 $A C E$ ．

(1)、求 $D D_{1}$ 的长；

(2)、求平面 $A C E$ 与平面 $C E C_{1}$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A C E$ 的距离．

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4、已知直线 $l$ 过点 $A (4, 1)$ ．

(1)、若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上的截距的2倍，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求与 $x + 6 y - 2 = 0$ 平行时的直线 $l$ 的方程．

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5、如图，已知P是半径为2，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的一段圆弧AB上一点， $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{B C}$ ，则 $\overset{⇀}{P C} \cdot \overset{⇀}{P A}$ 的最小值为．

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6、已知点 $A (3, 2)$ ， $B (- 2, 3)$ ，直线 $l : k x - y - 2 k = 0$ ．若直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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7、已知直线 $l$ 经过点 $A (- 3 ， 2)$ ，且与直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y + 7 = 0$ C、 $2 x + y + 4 = 0$ D、 $2 x - y + 8 = 0$

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8、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ ，是两两垂直的单位向量，且 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{3}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{3}}$ ，则 $(6 \vec{a}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{b})$ 等于(　　)

A、15 B、3 C、－3 D、5

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9、已知直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{a} = (- 3, 2, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{u} = (1, 2, - 1)$ ，则 $l$ 与 $α$ 的位置关系是（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l ∥ α$ C、 $l \subset α$ D、 $l ∥ α$ 或 $l \subset α$

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10、某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量 $x$ （单位：千部）与另投入成本 $f (x)$ （单位：万元）的关系式为 $f (x) = \{\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x + 750, x \in (0, 40) \\ 701 x + \frac{10000}{x} - 8700, x \in [40, 120) \end{array}$ ，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完.

(1)、求2025年的利润 $g (x)$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；

(2)、当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, (x \leq 1) \\ \frac{a}{x}, (x > 1) \end{cases}$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ ； B、 $[- 2, 0)$ ； C、 $[- 3, - 2]$ ； D、 $(0, + \infty)$

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12、在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，且 $D$ 为 $B C$ 边上一点，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆半径 $R = \frac{\sqrt{21}}{3}$ B、若 $A D$ 是 $B C$ 边上的高，则 $A D = \frac{2}{7} \sqrt{21}$ C、若 $A D$ 是 $∠ A$ 的平分线，则 $A D = \frac{6}{5} \sqrt{3}$ D、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $A D = \frac{\sqrt{37}}{3}$

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13、已知集合 $S_{n} = \{X |X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})\} (n \geq 2)$ ．对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) \in S_{n}$ ，给出如下定义：
①A与B之间的第一距离 $d_{1} (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$ ；
②A与B之间的第二距离 $d_{2} (A, B) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(a_{i} - b_{i})}^{2}}$ ．

(1)、当 $n = 2$ 时， $A (0, 0)$ ，若 $d_{1} (A, B) = d_{2} (A, B) = 1$ ，求B；

(2)、当 $n = 2$ 时，若 $d_{1} (A, B) = 1$ ，求 $d_{2} (A, B)$ 的取值范围；

(3)、若 $A, B, C \in S_{n}$ ，问：“ $d_{1} (A, C) = d_{1} (A, B) + d_{1} (B, C)$ ”是“ $d_{2} (A, C) = d_{2} (A, B) + d_{2} (B, C)$ ”的什么条件，并证明.

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14、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，点 $A$ 在平面 $B C D$ 的射影为 $O$ ， $B O ⊥ C D$ ， $A D ⊥ B C$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，二面角 $A - B C - D$ ， $A - C D - B$ 的大小分别为 $60 °$ ， $45 °$ ，且 $B C = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、求 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值；

(3)、求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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15、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件：
① $\frac{c}{a} = \frac{sin 2 C}{2 sin B - sin C}$ ；
② $\frac{sin C - sin B}{cos B + cos A} = \frac{cos B - cos A}{sin C}$ ；
③ $\frac{b + c}{a} = cos C + \sqrt{3} sin C$ ；
从这三个条件中任选一个作为 $△ A B C$ 满足的条件，完成以下问题：

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ．角A的内角平分线交边BC于D，且 $A D = \sqrt{3}$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状并证明.

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16、从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h之间，进行恰当分组后（最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求直方图中x的值；

(2)、试估计该小区用户月用电量的平均数.

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17、已知平面向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})$ 的值；

(2)、当实数k为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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18、已知圆锥的母线长为2，内切球的表面积为 $\frac{4}{3} π$ ，则圆锥的底面半径为.

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19、已知平面向量 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $λ \in R$ ，则 $∣ \vec{a} + λ \vec{b} ∣$ 的最小值为.

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20、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙中靶的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则两人都中靶的概率为.

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