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相关试卷

1、若 $\vec{a}$ $= (0, 1, - 1)$ ， $\vec{b}$ $= (1, 1, 0)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ$ 的值是

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2、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 中点，动点 $F$ 在正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内（包括边界），则下列说法正确的是（）

A、若 $E F // D_{1} B$ ，则 $E F$ 的长度是 $\sqrt{2}$ B、若 $B_{1} F //$ 平面 $A_{1} B D$ ，则 $F C_{1}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ C、若 $A_{1} E ⊥ B F$ ，则点 $F$ 的轨迹长度是 $\sqrt{2}$ D、若 $C_{1} F ⊥$ 平面 $A_{1} C F$ ，则点 $F$ 的位置唯一

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q，前n项和 $S_{n} > 0$ ，设 $b_{n} = a_{n + 2} - \frac{3}{2} a_{n + 1}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $q = 1$ ，则 $T_{n} = S_{n}$ B、若 $q > 2$ ，则 $T_{n} > S_{n}$ C、若 $q = - \frac{1}{4}$ ，则 $T_{n} > S_{n}$ D、若 $q = - \frac{3}{4}$ ，则 $T_{n} > S_{n}$

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4、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 1$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离 B、当 $r = 2$ 时， $y = 1$ 是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的一条公切线 C、当 $r = 3$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交 D、当 $r = 4$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程是 $y = - x + \frac{1}{2}$

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $4 x + 3 y + m = 0$ （ $m$ 为常数）与 $C$ 在第一象限交于点 $P$ .若 $|O P| = |O F|$ （ $O$ 为原点），则 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{35}}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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6、已知 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则（）

A、 $\ln x_{0} = - x_{0} + 1$ B、 $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ C、 $\ln x_{0} = - x_{0}^{2} + 1$ D、 $\ln x_{0} = x_{0}^{2} + 1$

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7、如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 和 $D F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、平面 $F A D$ 和平面 $E B C$ 有相同的法向量 C、异面直线 $A B$ 和 $E C$ 的距离为 $\frac{4}{3} \sqrt{6}$ D、二面角 $A - E B - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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8、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， M是 $B B_{1}$ 的中点，N是BC的中点，过点N作与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 平行的直线PN，交 $A_{1} B_{1}$ 于点P．

(1)、证明： $C_{1} M ⊥$ 平面AMN；

(2)、求 $C_{1} M$ 与平面PMN所成角的正弦值；

(3)、求点P到平面AMN的距离．

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9、2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ ，且各题是否答对互不影响．

(1)、若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；

(2)、记张某初赛结束时已答题的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c - b = 2 a \cos B$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 长度的最小值．

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11、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）

A、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 B、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C、若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在 $[2.5, 3.5]$ ， $[6.5, 7.5]$ ， $[12.5, 13.5]$ 三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在 $[6.5, 7.5]$ 的家庭应抽24个 D、从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot x_{12}$ 共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数

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12、函数 $f (x) = (x - \frac{4}{x}) cos \frac{π}{2} x$ 的部分图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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13、已知 $z + 2 i = \frac{i - 1}{i + 1}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $- i$ C、 $i$ D、 $2 i$

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14、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、3 C、2 D、1

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15、设函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有极值，且 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“F点”．

(1)、判断函数 $y = x - \sin x$ 是否存在F点；

(2)、设函数 $f (x) = k x^{2} - 2 \ln x (k \in R)$ ，当 $f (x)$ 存在F点，求k的值；

(3)、设函数 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x (a \neq 0)$ ，存在两个不相等的“F点” $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $|g (x_{1}) - g (x_{2})| \geq 1$ ，求a取值范围．

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16、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点． $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$

(2)、证明： $B F ⊥ D E$

(3)、当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．

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17、某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{2}{3}$ ，第二轮比赛时两组通过的概率分别是 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{5}$ ，两轮比赛过程相互独立．
（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；
（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为 $p$ （ $0 < p < 1$ ）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为 $f (p)$ ，当 $p = p_{0}$ 时， $f (p)$ 最大，试求 $p_{0}$ 的值．

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18、某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200

(1)、根据 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)、现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计 $P (B |A)$ 的值．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 1$ ．

(1)、求实数a，b的值：

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最大值．

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20、设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且集合A中的元素任意两个之积皆为偶数，则集合A中元素为偶数的个数最大值为，集合A中元素个数的最大值为．

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		语文成绩		合计
		优秀	不优秀	合计
数学成绩	优秀	50	30	80
数学成绩	不优秀	40	80	120
合计		90	110	200

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828