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相关试卷

1、已知抛物线 $Γ ： y^{2} ＝ 2 p x (p > 0)$ 上的点 $A$ 的横坐标为4，抛物线 $Γ$ 的焦点为 $F$ ．若 $|A F| = 5$ ，则 $p$ 的值为（）

A、18 B、9 C、4 D、2

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2、设集合 $A ＝ {x \in N ∣ (x - 2) (x - 10) \leq 0} ， B ＝ {x ∣ x ＝ 2 n, n \in N}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3、复平面上 $A ， B$ 两点对应的复数分别是 $1 ＋ 3 i ， - 2 ＋ i$ ，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $z$ ，则 $|z| ＝$ （）

A、17 B、 $\sqrt{17}$ C、13 D、 $\sqrt{13}$

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4、已知数表 $A_{2 n} = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \end{array})$ ，其中 $a_{i j} (i = 1, 2; j = 1, 2, \dots, n)$ 表示数表中第 $i$ 行第 $j$ 列的实数， $a_{i j}$ 互不相同，且满足下列条件：① $a_{i j} \in \{x \in N | 1 \leq x \leq 2 n\}$ ；② ${(- 1)}^{m + 1} (a_{1 m} - a_{2 m}) < 0 (m = 1, 2, \dots, n)$ .

(1)、对于数表 $A_{22}$ ，若 $a_{12} = 4$ ，写出所有满足条件的数表 $A_{22}$ ；

(2)、对于数表 $A_{2 n}$ ，当 $a_{11} + a_{12} + \cdot \cdot \cdot + a_{1 n}$ 取最小值时，求证：存在正整数 $k (1 \leq k \leq n)$ ，使得 $a_{2 k} = 2 n$ ；

(3)、对于数表 $A_{2 n}$ ，当n为偶数时，求 $a_{11} + a_{12} + \cdot \cdot \cdot + a_{1 n}$ 的最大值.

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4$ ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的左焦点， $T$ 为直线 $x = - 3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $T F$ 的垂线交 $C$ 于点 $P$ ， $Q$ .
（i）证明： $O T$ 平分线段 $P Q$ （其中 $O$ 为坐标原点）；
（ii）设线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，若 $△ O F T$ 与 $△ O P M$ 面积之积是 $\sqrt{2}$ ，求点 $T$ 的纵坐标.

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 2$ ， $A B = B C = C D = 1$ ， $B C / / A D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $A D$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $C - P D - B$ 的余弦值.

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7、已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 20$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + 3^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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8、如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 $2 m$ ，水面宽 $4 m$ ．当水位下降，水面宽为 $6 m$ 时，拱顶到水面的距离是 $m$ ．

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9、若 $\vec{a}$ $= (0, 1, - 1)$ ， $\vec{b}$ $= (1, 1, 0)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ$ 的值是

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 中点，动点 $F$ 在正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内（包括边界），则下列说法正确的是（）

A、若 $E F // D_{1} B$ ，则 $E F$ 的长度是 $\sqrt{2}$ B、若 $B_{1} F //$ 平面 $A_{1} B D$ ，则 $F C_{1}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ C、若 $A_{1} E ⊥ B F$ ，则点 $F$ 的轨迹长度是 $\sqrt{2}$ D、若 $C_{1} F ⊥$ 平面 $A_{1} C F$ ，则点 $F$ 的位置唯一

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11、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q，前n项和 $S_{n} > 0$ ，设 $b_{n} = a_{n + 2} - \frac{3}{2} a_{n + 1}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $q = 1$ ，则 $T_{n} = S_{n}$ B、若 $q > 2$ ，则 $T_{n} > S_{n}$ C、若 $q = - \frac{1}{4}$ ，则 $T_{n} > S_{n}$ D、若 $q = - \frac{3}{4}$ ，则 $T_{n} > S_{n}$

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12、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 1$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离 B、当 $r = 2$ 时， $y = 1$ 是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的一条公切线 C、当 $r = 3$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交 D、当 $r = 4$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程是 $y = - x + \frac{1}{2}$

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $4 x + 3 y + m = 0$ （ $m$ 为常数）与 $C$ 在第一象限交于点 $P$ .若 $|O P| = |O F|$ （ $O$ 为原点），则 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{35}}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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14、已知 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则（）

A、 $\ln x_{0} = - x_{0} + 1$ B、 $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ C、 $\ln x_{0} = - x_{0}^{2} + 1$ D、 $\ln x_{0} = x_{0}^{2} + 1$

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15、如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 和 $D F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、平面 $F A D$ 和平面 $E B C$ 有相同的法向量 C、异面直线 $A B$ 和 $E C$ 的距离为 $\frac{4}{3} \sqrt{6}$ D、二面角 $A - E B - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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16、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， M是 $B B_{1}$ 的中点，N是BC的中点，过点N作与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 平行的直线PN，交 $A_{1} B_{1}$ 于点P．

(1)、证明： $C_{1} M ⊥$ 平面AMN；

(2)、求 $C_{1} M$ 与平面PMN所成角的正弦值；

(3)、求点P到平面AMN的距离．

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17、2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ ，且各题是否答对互不影响．

(1)、若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；

(2)、记张某初赛结束时已答题的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c - b = 2 a \cos B$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 长度的最小值．

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19、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）

A、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 B、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C、若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在 $[2.5, 3.5]$ ， $[6.5, 7.5]$ ， $[12.5, 13.5]$ 三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在 $[6.5, 7.5]$ 的家庭应抽24个 D、从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot x_{12}$ 共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数

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20、函数 $f (x) = (x - \frac{4}{x}) cos \frac{π}{2} x$ 的部分图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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