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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 2$ ， $\cos 2 A + (4 + \sqrt{3}) \sin (B + C) = 2 \sqrt{3} + 1$ ，点P是 $△ A B C$ 的重心，且 $A P = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则 $a =$ .

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2、已知函数 $y = \sqrt{x}$ 的图象与函数 $y = a \ln x$ 的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.

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3、在二项式 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中 $x$ 的系数为．

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4、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P (\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆内部，点 $Q$ 在椭圆上，椭圆 $C$ 的离心率为 $e$ ，则以下说法正确的是（）

A、离心率 $e$ 的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、当 $e = \frac{\sqrt{2}}{4}$ 时， $|Q F_{1}| + |Q P|$ 的最大值为 $4 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、存在点 $Q$ ，使得 ${\vec{Q F}}_{1} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{1}{|Q F_{1}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|}$ 的最小值为 $1$

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5、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8}, 1)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 的最大值为1

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6、已知直线 $y = a x + b (a \in R, b > 0)$ 是曲线 $f (x) = e^{x}$ 与曲线 $g (x) = ln x + 2$ 的公切线，则 $a + b =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $e$ D、 $\frac{1}{e}$

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7、正四面体的棱长为 $3$ ，点 $M$ ， $N$ 是它内切球球面上的两点， $P$ 为正四面体表面上的动点，当线段 $M N$ 最长时， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $3$ D、 $\frac{5}{2}$

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8、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ 是 $C$ 上一点，点 $B$ 满足 $2 \vec{B F_{1}} = - 3 \vec{B F_{2}}$ ， $∠ F_{1} A F_{2} = 4 ∠ F_{1} A B = 120 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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9、设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{9}{14}$ B、 $P (A B) = \frac{6}{7}$ C、 $P (A| B) = \frac{1}{5}$ D、事件A与事件B相互独立

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10、已知 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - \frac{1}{4^{x}} + \frac{1}{2^{x}}$ ，则此函数的值域为（）

A、 $[- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}]$ B、 $(- \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{4}, + \infty)$

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 2$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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12、已知 $z = - 2 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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13、已知集合 $A = {x | \frac{x - 4}{x + 3} > 0}$ ，集合 $B = {x | a - 2 \leq x \leq 2 a + 1}$ ．
（1）当 $a = 3$ 时，求 $A$ 和 $(∁_{R} A) \cup B$ ；
（2）若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、 $2 x^{2} + x y + y^{2} = 1$ ，则 $x^{2} + x y + 2 y^{2}$ 的最小值为.

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15、“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、一只蚂蚁从正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为 $\frac{1}{3}$ ，逆时针的概率为 $\frac{2}{3}$ ，设蚂蚁经过 $n$ 步回到 $A$ 点的概率为 $p_{n}$ .
（1）求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ；
（2）设经过 $n$ 步到达 $C$ 点的概率为 $q_{n}$ ，求 $p_{n} + q_{n}$ 的值；
（3）求 $p_{n}$ .

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17、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3, \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F}$ ， $\vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

(3)、在（2）的条件下，若点 $Q$ 是点 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点，求证：三角形 $Q A B$ 的面积 $S_{△ Q A B} > \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， M为BP的中点， $A M / /$ 平面 $C D P$ ．

(1)、求证： $B C = 2 A D$ ；

(2)、若 $P A ⊥ A B$ ， $A B = A P = A D = C D = 1$ ， $∠ C B M = ∠ C P M$ ．求平面 $C D P$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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19、已知函数 $f (x) = (x^{2} + 2) - k \ln (x + 1)$ （k为常数）．

(1)、当 $k = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上存在极值，求实数k的取值范围．

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20、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c - 2 b \cos A = b$ ．

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $c = 5 \sqrt{7}$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，求a的值．

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