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相关试卷

1、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，设函数 $f (x) = (x - a) \log_{\frac{1}{2}} (x + b)$ ，若 $f (x) \leq 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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2、质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件 $A =$ “这两个数都是素数”，事件 $B =$ “这两个数不是孪生素数”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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3、已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（）

A、 $9 : \sqrt{15}$ B、 $6 : \sqrt{15}$ C、 $4 : \sqrt{15}$ D、 $3 : \sqrt{15}$

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4、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $\tan α \tan β = - 3$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{9} = 14$ ， $a_{2} = - 3$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $- 7$ B、 $7$ C、 $- 16$ D、 $16$

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6、 $(1 + x^{2}) {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为（）

A、 $- 6$ B、7 C、8 D、12

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7、已知命题p：∀x∈R，x²＜x³ ，命题q：∃x∈R，x²－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（　　）

A、p，q B、¬p，q C、p，¬q D、¬p，¬q

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8、如图，在区间 $[a, b]$ 上，曲线 $y = f (x)$ 与 $x = a, x = b, x$ 轴围成的阴影部分面积记为面积 $S$ ，若 $F^{'} (x) = f (x)$ （ $F^{'} (x)$ 为函数 $y = F (x)$ 的导函数），则 $S = |F (b) - F (a)|$ .设函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$

(1)、若 $a = 1, b = 2$ ，求 $S$ 的值；

(2)、已知 $b > a > 0$ ，点 $A (a, 0), D (b, 0), M (\frac{a + b}{2}, f (\frac{a + b}{2}))$ ，过点 $M$ 的直线分别交 $x = a, x = b$ 于 $B, C$ 两点（ $B, C$ 在第一象限），设四边形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，写出 $S_{1}$ 的表达式（用 $a, b$ 表示）并证明： $S > S_{1}$ ：

(3)、函数 $g (x) = f (x) ln x - m$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，比较 $x_{1} x_{2}$ 与 $e^{2}$ 的大小，并说明理由.

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9、已知点 $A (0, \sqrt{3}), B (0, - \sqrt{3})$ ，点 $P$ 在以 $A B$ 为直径的圆上运动， $P D ⊥ y$ 轴，垂足为 $D$ ，点 $M$ 满足 $\vec{D P} = \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{D M}$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程：

(2)、过点 $N (0, 1)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于点 $E 、 F$ ，设直线 $A E 、 B F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，证明 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 为定值，并求出该定值.

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D P$ ， $B C / /$ $A D, A D = 2 B C = 4, P A = P D = 2 \sqrt{2}, A B = \sqrt{2}$ .

(1)、 $E$ 为 $P D$ 上一点， $\vec{D E} = m \vec{D P}, C E / /$ 平面 $A B P$ ，求 $m$ 的值：

(2)、平面 $A B P$ 与平面 $D C P$ 的交线为 $l$ ，求 $l$ 与平面 $B C P$ 所成角的正弦值.

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11、如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动 $\frac{2 π}{3}$ ，设移动 $n$ 次回到起始位置的概率为 $P_{n}$ .

(1)、求 $P_{2}$ 及 $P_{3}$ 的值：

(2)、求数列 $\{P_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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12、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} b + c sin A - \sqrt{3} c cos A = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小：

(2)、若 $c = 7$ ，且 $a + b = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $A, B$ ，且满足 $|A B| = 2 a$ 的直线 $l$ 佮有三条，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为.

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14、已知角 $α$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $P (5, 12)$ ，将角 $α$ 的终边绕着原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到角 $β$ ，则 $sin β =$ .

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15、已知 $z$ 是复数，若 $(1 - i) z = 2$ ，则 $z =$ .

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16、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x, y \in R, f (x) f (y) = f^{2} (\frac{x + y}{2}) - f^{2} (\frac{x - y}{2})$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $y = f (x + 1) - 2$ 的图象关于点 $(- 1, - 2)$ 对称 C、 $\frac{f (2023) + f (2025)}{f (2022) + f (2024)} = \frac{f (2024)}{f (2023)}$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

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17、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2, A A_{1} = 1$ ，点 $M$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）

A、当点 $M$ 为 $B_{1} D_{1}$ 中点时， $C_{1} M ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ B、当点 $M$ 为 $B_{1} D_{1}$ 中点时，直线 $D M$ 与直线 $B C$ 所角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、当点 $M$ 在线段 $B_{1} D_{1}$ 上运动时，三棱锥 $C_{1} - B D M$ 的体积是定值 D、点 $M$ 到直线 $B C_{1}$ 距离的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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18、在同一平面直角坐标系中，直线 $m x - y + 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的位置可能为（）

A、 B、 C、 D、

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19、关于函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ ，下列说法正确的是（）
①曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线方程为 $8 x - 2 y - 25 = 0$ ；
② $f (x)$ 的图象关于原点对称；
③若 $y = f (x) - m$ 有三个不同零点，则实数 $m$ 的范围是 $(- \frac{7}{3}, \frac{13}{6})$ ；
④ $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递减.

A、①④ B、②④ C、①②③ D、①③④

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20、 ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数是（）

A、5 B、10 C、20 D、60

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