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相关试卷

1、如图，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $\vec{B C} = 4 \vec{D C}$ ， $\vec{O D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{e^{x} + 1}) cos (2 π - x)$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $D (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ .过点 $A (m, 0) (m > 1)$ 作直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，且两直线的斜率之积等于 $1, l_{1}$ 与圆 $O$ 相切于点 $P, l_{2}$ 与椭圆相交于不同的两点 $M, N$ .
①求 $m$ 的取值范围；
②求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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4、已知递增的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 4$ ，且 $a_{2}, a_{3}, a_{4} - 2$ 成等差数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n} - 1 (n 为奇数), \\ \frac{1}{2} a_{n} (n 为偶数), \end{array}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和.

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $P D = C D = A D = 2 A B = 2, A B / /$ $C D, A D ⊥ C D$ .

(1)、在棱 $P D$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $A E / /$ 平面 $P B C$ ？若存在，请指出点 $E$ 的位置，并证明；若不存在，请说明理由；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P A B$ 的夹角的大小.

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6、已知过点 $M (2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且当 $l$ 的斜率为1时， $M$ 恰为 $A B$ 的中点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当 $l$ 经过抛物线 $C$ 的焦点时，求 $△ O A B$ （ $O$ 为原点）的面积.

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7、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 1, n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = n (n + 1), n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等差数列，并求 $\{S_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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8、已知直线 $l : 3 x - 4 y + 5 = 0$ 与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5 - a$ 相切.

(1)、求实数 $a$ 的值及圆 $C$ 的半径；

(2)、已知直线 $m : k x - y + 2 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $△ A B C$ 的面积为2，求直线 $m$ 的方程.

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9、过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点 $A, O$ 为坐标原点，若 $|O P| + |O A| = 2 |P A|$ ，则 $C$ 的离心率为.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，数列 $\{a_{k_{n}}\}$ 为等比数列，数列 $\{k_{n}\}$ 的前三项分别为 $1, 2, 6$ ，则数列 $\{a_{k_{n}}\}$ 的公比是.

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11、在空间直角坐标系中，已知三点 $A (3, 2, - 1), B (2, 1, 2), C (3, 1, - 1)$ ，则点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为.

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12、与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 3 = 0$ 有相同圆心，且过点 $(4, - 2)$ 的圆的标准方程是.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 B、 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 是等比数列 C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} = 105$ D、当 $n \geq 2$ 时， $a_{1} a_{2} \dots a_{n - 1} (a_{n} - 1) = 1$

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14、已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M, N$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、抛物线的焦点坐标是 $(- 2, 0)$ B、焦点到准线的距离是4 C、若点 $P$ 的坐标为 $(4, 3)$ ，则 $|M P| + |M F|$ 的最小值为6 D、若 $Q$ 为线段 $M N$ 的中点，则 $Q$ 的坐标可以是 $(6, 4)$

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15、已知圆 $Q_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $Q_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 的交点为 $A, B$ ，则（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、线段 $A B$ 的中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\sqrt{2}$ D、 $P$ 为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、下列命题中，正确的是（）

A、两条不重合直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{a} = (2, 0, - 1), \vec{b} = (- 4, 0, 2)$ ，则 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ B、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{c} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{m} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、两个不同的平面 $α, β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1), \vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ D、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{d} = (0, 1, 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1, 0, 1)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$

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17、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左､右焦点，点 $P$ 是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点 $Q$ ，若 $|P F_{1}| = 6 |Q F_{2}|$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的第二项为1，则“ $a_{2020} < a_{2023}$ ”是“ $a_{2022} < a_{2024}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 均为等差数列，且 $a_{1} = 1, b_{1} = 5, a_{2} + b_{2} = 8$ ，设数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{30} =$ （）

A、1335 B、900 C、1020 D、1050

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20、如图1，在四面体 $O A B C$ 中，点 $M, N$ 分别为线段 $O A, B C$ 的中点，若 $\vec{M N} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y - z$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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