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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = 2$ ， $M$ 是 $B C$ 中点， $N$ 是 $P D$ 中点.

(1)、证明：直线 $M N / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $\vec{P G} = 4 \vec{G C}$ ，求平面 $P C D$ 与平面 $G M N$ 的夹角的余弦值.

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2、随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其 $A, B$ 两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.

(1)、求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；

(2)、规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司 $B$ 的客户人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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3、 ${(\frac{1}{x} - x^{2})}^{n}$ 的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为．

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4、已知直线 $l$ 的方程为 $x \cos θ + y \sin θ = m$ ( $0 \leq θ < 2 π$ ， $m$ 为常数)，曲线 $C$ 的方程为 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ，则“ $|m| \leq 1$ ”是“直线 $l$ 与曲线 $C$ 有公共点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{9} = 16$ ，设等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 18$ B、 $- 36$ C、36 D、18

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6、随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价 $x$ （单位：元）和销售量 $y$ （单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程是 $\hat{y} = 0.25 x + \hat{a}$ ，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（）（单位：百件）
$x$
20
25
30
35
40
$y$
5
7
8
9
11

A、12 B、12.5 C、13 D、11.75

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7、已知集合 $A = \{x \in N |x \leq 3\}, B = \{- 2, 0, 1, 3, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 3\}$ B、 $\{0, 1, 3\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{- 2, 1, 3\}$

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8、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q$ 是 $C C_{1}$ 的中点，下列说法正确的是（）

A、若 $P$ 是线段 $A C_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $P - B Q D$ 的体积为定值 B、三棱锥 $A_{1} - B Q D$ 外接球的半径为 $\frac{\sqrt{66}}{6}$ C、若 $A Q$ 与平面 $A C$ ，平面 $A D_{1}$ ，平面 $A B_{1}$ 所成的角分别为 $θ_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ），则 $\sum_{i = 1}^{3} {cos}^{2} θ_{i} = 2$ D、若平面 $A B Q$ 与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为 $θ_{i} (i = 1, \dots, 6)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} {sin}^{2} θ_{i} = 4$

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9、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = - 81$ ，则公比 $q =$ ．

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10、某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路， $∠ B A C = 120 °$ ， M，N为公路上的两个景点，测得 $A M = 2 km$ ， $A N = 1 km$ ，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角 $∠ M N P = 60 °$ .现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元.

(1)、求M、N的距离；

(2)、设 $∠ M N P = α$ ，用 $α$ 表示 $P M + P N$ ；

(3)、求该景区预算需要投入多少万元改造？（ $\sqrt{7} = 2.65$ ）

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11、由直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1} - B_{1} C D_{1}$ 后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点.

(1)、求证： $A_{1} O //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} B D //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；

(3)、设平面 $B_{1} C D_{1}$ 与底面ABCD的交线为l，求证： $B_{1} D_{1} // l$ .

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ P C D = 90 °$ ， $P A = A B = A C = 2$

(1)、证明：AC⊥CD；

(2)、若E是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角

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13、如图所示，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 两底面的边长分别为4和8.

(1)、若其侧棱所在直线与上､下底面中心连线的夹角为 $30^{\circ}$ ，求该四棱台的表面积；

(2)、若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积.

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14、已知向量 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ ，且 $|{\vec{e}}_{1}| = |{\vec{e}}_{2}| = 1, {\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}, \vec{m} = λ {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}, \vec{n} = 3 {\vec{e}}_{1} - 2 {\vec{e}}_{2}$ .

(1)、求证：（ $2 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}) ⊥ {\vec{e}}_{2}$ ；

(2)、若 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $λ$ 的值.

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15、若复数 $z$ 与 ${(z + 3)}^{2} - 18 i$ 都为纯虚数，则 $z =$ .

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16、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A, P, Q$ 的平面截该正方体所得截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（）

A、直线 $A P$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ B、当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形 C、当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 交于点 $R_{1}$ ，则 $C_{1} R_{1} = \frac{1}{3}$ D、当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为四边形

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17、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a = 3$ ， $b = \sqrt{7}$ ， $c = 1$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、O为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{OA} \cdot \vec{OC} = - \frac{14}{3}$ D、设 $3 \vec{A G} = \vec{A C}$ ，则 $B G = \frac{\sqrt{19}}{3}$

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18、下面是关于复数 $z = \frac{2}{- 1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

A、 $z$ 在复平面内对应的点位于第三象限 B、若复数 $z_{1} = 1 + i$ ，则 $|z - z_{1}| = 2 \sqrt{2}$ C、 $z$ 的共轭复数为 $1 + i$ D、 $z$ 的虚部为 $- 1$

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19、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4, A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M, N$ 为边 $A B$ 上任意一点（包含端点），则 $\vec{M B} \cdot \vec{D N}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、10 D、12

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20、假设 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面外一点，而 $△ P B C$ 和 $△ A B C$ 都是边长为2的正三角形， $P A = \sqrt{6}$ ，那么二面角 $P - B C - A$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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$x$	20	25	30	35	40
$y$	5	7	8	9	11