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相关试卷

1、甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（）

A、72 B、78 C、96 D、120

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2、如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一点，且 $A E ⊥ l_{1}$ 于点 $E$ ， $A F ⊥ l_{2}$ 于点 $F$ ， $A E = m$ ， $A F = n$ （ $m$ ， $n$ 为常数），点 $B$ 、 $C$ 分别为直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上的动点，且 $A B ⊥ A C$ ，设 $∠ A C F = α$ .

(1)、若 $α = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $A$ 恰好 $E F$ 中点时，求 $△ A B C$ 的周长的最小值.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a \sin A \cos B + b \sin A \cos A = \sqrt{3} a \cos C$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B D$ ．

(2)、求三棱锥 $A - C_{1} B D$ 的体积．

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5、已知函数 $f (x) = 3 \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值以及取得最大值时 $x$ 的集合．

(3)、求 $f (x)$ 的单调递减区间．

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值.

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7、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $4 \vec{O A} + 8 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，点 $M$ 在 $△ O B C$ 内（不含边界），若 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围是．

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A B$ 的中点，则直线 $A_{1} M$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为．

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9、计算 $(1 + i) (2 - i) =$ （其中 $i$ 为虚数单位）．

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10、如图，向透明塑料制成的长方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内灌进一些水，水是定量的（定体积为 $V$ ）．固定容器底面一边 $B C$ 于地面上， $B C = 1$ ，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（）

A、水面 $E F G H$ 所在四边形的面积为定值 B、没有水的部分始终呈棱柱形 C、棱 $A_{1} D_{1}$ 一定与平面 $E F G H$ 平行 D、当容器倾斜如图所示时， $B E \cdot B F = 2 V$ （定值）

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11、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象如图所示，则（）

A、 $A = 2$ B、 $ω = 2$ C、 $φ = - \frac{π}{6}$ D、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于 $y$ 轴对称

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12、已知圆心角为 $30 °$ 的扇形 $A O B$ 的半径为1，点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，点 $D$ 是线段 $O A$ 上的一点，点 $E$ 、 $F$ 是线段 $O B$ 上的两点，且四边形 $C D E F$ 为矩形，则该矩形的最大面积为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高 $M N$ ，选择公园内某点 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 为测量观测点．从 $A$ 点测得 $M$ 的仰角 $∠ M A N = 45 °$ ， $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 30 °$ 以及 $∠ M A C = 75 °$ ，从 $C$ 点测得 $∠ M C A = 60 °$ ，已知山高 $B C = 50 m$ ，则山高 $M N =$ （） $m$ ．

A、 $50 \sqrt{2}$ B、 $50 \sqrt{3}$ C、 $75 \sqrt{2}$ D、 $75 \sqrt{3}$

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14、已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）

A、 $100 π$ B、 $68 π$ C、 $52 π$ D、 $50 π$

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15、已知 $cos α = - \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 为第二象限角，则 $tan α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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16、已知平面 $α$ ， $β$ 和直线 $a$ ， $b$ ，且 $α ∥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ 与 $b$ 的位置关系是（）

A、平行或异面 B、平行 C、异面 D、相交

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17、已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (4, - 2)$ ，且 $\vec{b} = - 2 \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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18、把 $\frac{2}{3} π$ 弧度化成角度是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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19、复数 $- 1 + 2 i$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到 $cos \frac{1}{2}$ 的近似值，我们对函数 $f (x) = cos (\frac{π}{2} x)$ 进行多项式插值.设一次函数 $L_{1} (x) = a x + b$ 满足 $\{\begin{array}{l} L_{1} (0) = f (0) = 1 \\ L_{1} (1) = f (1) = 0 \end{array}$ ，可得 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的一次插值多项式 $L_{1} (x) = - x + 1$ ，由此可计算出 $cos \frac{1}{2}$ 的“近似值” $cos \frac{1}{2} = f (\frac{1}{π}) \approx L_{1} (\frac{1}{π}) = 1 - \frac{1}{π} \approx 0.682$ ，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式.已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{2} x)$ 在 $[0, 1]$ 上的二次埃尔米特插值多项式 $H (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足 $\{\begin{array}{l} H (0) = f (0) \\ H (1) = f (1) \\ H^{'} (0) = f^{'} (0) \end{array}$

(1)、求 $H (x)$ ，并证明当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) ⩽ H (x)$ ；

(2)、若当 $x \in [0, 1]$ 时， $|f (x) - H (x)| ⩽ λ x^{2}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、利用 $H (x)$ 计算 $cos \frac{1}{2}$ 的近似值，并证明其误差不超过 $\frac{1}{40}$ .
（参考数据： $\frac{1}{π} \approx 0.318, \frac{1}{π^{2}} \approx 0.101$ ；结果精确到0.001）

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