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相关试卷

1、平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{12} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{8} \vec{a}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{8} \vec{a}$

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2、钝角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $a = 3$ ， $b = 2 c$ ，且 $9 \sin B - 2 \sin C = 2 \sqrt{15}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、9 B、 $\frac{15}{2}$ C、6 D、 $\frac{23}{2}$

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4、如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为 $64 π$ ，则圆柱底面圆的半径为（）

A、4 B、2 C、8 D、6

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5、已知 $(z + \bar{z}) i = \bar{z} - 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、求 $\{\frac{1}{a_{n}} \cdot 2^{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ；

(3)、数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对于任意 $n \in N^{*}, 2^{n} \cdot λ \geq S_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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7、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{12}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $△ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，且 $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 B B_{1}$ ，

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $F - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $C F$ 的长，若不存在，请说明理由.

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8、设 $D$ 为 $Δ A B C$ 所在平面内一点，若 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{C D}$ ，则下列关系中正确的是

A、 $\overset{⇀}{A D} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别为 $A D_{1}$ ， $C D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ .

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小.

(3)、求直线 $B D$ 与平面 $D_{1} E F$ 所成角的正切值.

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10、在① $a \cos B + b \cos A = 2 c - 4 c \sin^{2} \frac{C}{2}$ ， ② $2 \vec{C A} \cdot \vec{C B} = c^{2} - {(a - b)}^{2}$ ， ③ $2 \sin^{2} \frac{A + B}{2} + \cos 2 C = 1$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且___________， $\cos A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若 $c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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11、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B$ 的一部分图象如图所示，如果 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围．

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12、如图所示， $A D$ 是△ABC的一条中线，点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线分别与射线 $A B$ ，射线 $A C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，求 $λ ， μ$ 的值；

(2)、设 $\vec{A M} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = n \vec{A C}$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

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13、已知边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 30^{\circ}, E$ 是边 $A D$ 所在直线上的一点，则 $\vec{E B} \cdot \vec{E C}$ 的取值范围为．

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14、已知 $f (x)$ 是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数 $y = \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0, 0 < φ < π)$ 图象的一部分(如图所示)，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[- π, π]$ B、当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 C、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ D、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有且只有两个零点 $- \frac{5 π}{12}$ 和 $- \frac{11 π}{12}$

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15、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A B ⊥ B C, A C ⊥ B B_{1}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B = 6$ ， $B C = 4, B B_{1} = 2, A C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 相交于点 $D, \vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，且 $D E / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ．

(1)、求三棱锥 $C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $α, C C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角为 $β$ ，求 $α + β$ 的值．

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16、已知函数 $f (x) = (a - 1) \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ， $a \in R$ ．
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $y = 2 x$ 平行，证明： $f (x) \leq \ln 4$ ；
（2）设 $g (x) = \frac{2 x - a}{x} - \frac{1}{2} x^{2}$ ，若对 $\forall x \in (1, + \infty)$ ，均有 $f (x) + 4 > g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 9$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最值.

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{3} + x^{2}, x \leq 0 \\ \frac{ln x}{x}, x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有一个实根，则实数 $m$ 的取值范围是

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19、如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种．

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sin x - e^{x} + e^{- x}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} - 4) + f (3 x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4, 1)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $[- 1, 4]$

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