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相关试卷

1、克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中 $C D = \sqrt{3} A D$ ．

(1)、若圆O的半径为r，且 $∠ C B D = 2 ∠ A B D$ ，
(ⅰ)求 $∠ A B D$ 的大小；
(ⅱ)求 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的取值范围(用r表示)．

(2)、若 $A D = 1, B C = 2, ∠ A D C \in [\frac{2π}{3}, \frac{5π}{6}]$ ，求线段BD长度的最大值．

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2、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， $A B ⊥ D E, A B / / E F, A B = B D = 6, E F = 4,$ $∠ E A D = ∠ E A B, \cos ∠ E A B = \frac{3}{4}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面ACE；

(2)、求点E到平面ABCD的距离；

(3)、求侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值．

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3、某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图：
根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70．

(1)、估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值；

(2)、求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)；

(3)、现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAB是正三角形， $A D ⊥$ 平面PAB，M，N分别为AB，PC的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面PAD；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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5、在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $A (0, 2), B (- \sqrt{3}, 1)$

(1)、求 $| \vec{A B} |$ 及向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 夹角的大小；

(2)、若 $\vec{A B} / / (2 \vec{O A} + t \vec{O B})$ ，求实数t的值.

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6、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量的模为．

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7、下列说法正确的是（）

A、复数 $2 + i$ 的模为 $\sqrt{5}$ B、复数 $z = 1 - i$ 的虚部为﹣1 C、若 $z_{1} = 2 i, z_{2} = i$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ D、若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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8、如图，矩形ABCD中， $A B = 1, B C = \sqrt{3}$ ．面积为 $\sqrt{3}$ 的平行四边形ACEF绕AC旋转，且 $E \notin$ 平面ABCD，则（）

A、平面 $E F B ⊥$ 平面EFD B、平面 $A B F ⊥$ 平面ABC C、平面 $A B F ⊥$ 平面BCF D、平面 $A B F ⊥$ 平面ADF

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9、如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中 $n (Ω) = 24, n (A) = 12, n (B) = 8$ ， $n (C) = 5, n (A \cup B) = 16$ ，则（）

A、事件A与事件B互斥 B、事件A与事件B相互独立 C、事件A与事件C互为对立 D、事件A与事件C相互独立

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10、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $E$ 为 $A B$ 中点，现将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起至 $△ A^{'} D E$ ，连接 $A^{'} B$ ， $A^{'} C$ ，且 $A^{'} C = 4$ .

(1)、求证：平面 $A^{'} D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、已知 $\vec{A^{'} F} = λ \vec{A^{'} C} (0 < λ < 1)$ .
（i）若 $λ = \frac{1}{2}$ ，求证： $B F ∥$ 平面 $A^{'} D E$ ；
（ii）若直线 $D F$ 与平面 $B C D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ，求 $λ$ 的值.

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11、为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间 $[2, 12]$ 之间（单位：小时）.

(1)、将全校男生一周内运动时长分为 $[2, 4]$ ， $(4, 6]$ ， $(6, 8]$ ， $(8, 10]$ ， $(10, 12]$ 五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数 $\bar{x}$ 和中位数 $y$ ；

(2)、已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差 $s^{2}$ .

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12、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量，且向量 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - x \vec{e_{2}}$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{1}{2}$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{b}|$ .

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13、已知 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，则 $a^{2} + a^{- 2} =$ .

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $2 \sqrt{3} S + b c cos A = b^{2} + c^{2}$ ，则 $\frac{sin A}{cos B + cos C} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ，且向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- 2 \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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16、已知三个不同的平面 $α, β, γ$ ，且 $α ⊥ γ$ ，则“ $β ⊥ γ$ ”是“ $α / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组： $[5, 10)$ ， $[10, 15)$ ， $[15, 20)$ ， $[20, 25)$ ， $[25, 30)$ ， $[30, 35)$ ， $[35, 40]$ （棉花纤维的长度均在 $[5, 40]$ 内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；

(2)、估计棉花纤维的长度的75%分位数．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \frac{\cos C}{c} = \frac{\cos A}{4 b - a}$ ．

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，且 $a + b = \frac{2 \sqrt{6}}{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A D} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{11}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{11}{12} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{1}{12} \bar{A B}$

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20、已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X - 1$ ，则 $P (Y \geq 3) =$ （）
X
0
1
2
3
P
a
$\frac{1}{3}$
5a
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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X	0	1	2	3
P	a	$\frac{1}{3}$	5a	$\frac{1}{6}$