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相关试卷

1、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A D = D C = B C = 1$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形，平面 $A C F E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F = 1$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A C F E$ ；

(2)、设点 $M$ 在线段 $E F$ 上运动，平面 $M A B$ 与平面 $F C B$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的取值范围.

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2、某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 20)$ ，其中 $x_{i}$ ，和 $y_{i}$ ，分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得 $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 80, \sum_{i = 1}^{20} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 9000, \sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 800$ .

(1)、求样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；

(2)、已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}, \sqrt{2} \approx 1.414$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 1$ ．

(1)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{n}$ ，证明： $\{b_{n}\}$ 是常数数列；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \sin (\frac{π}{2} a_{n}) + 2^{a_{n}}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．

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4、设 $a, b \geq 0, a + b = 1$ ．将 $a^{2}, b^{2}, 2 a b$ 这三者中的最大值记为 $M$ ．当 $a, b$ 变化时， $M$ 的最小可能值是．

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5、在 $△ P A B$ 中， $A B = 4, ∠ A P B = \frac{π}{3}$ ，点Q满足 $\vec{Q P} = 2 (\vec{A Q} + \vec{B Q})$ ，则 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 的最大值为.

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6、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (0 < ω ， φ < π)$ ，对于任意 $x \in R$ ，有 $f (\frac{π}{6} - x) = f (\frac{π}{3} + x) = - f (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7}{12} π, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{12})$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $(- π, π)$ 上共有6个极值点

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7、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $F$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是正方体表面上的一点，若 $D_{1} P ⊥ A F$ ，则线段 $D_{1} P$ 长度的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{34}}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（）

A、1152种 B、1728种 C、2304种 D、2880种

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9、已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左顶点和上顶点分别为 $A, B$ ，过椭圆 $C$ 左焦点 $F$ 且平行于直线 $A B$ 的直线交 $y$ 轴于点 $D$ .若 $\vec{O D} = 2 \vec{D B}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知集合 $A = \{(x, y) |y = x\}$ ，集合 $B = \{(x, y) |x^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、8 B、3 C、2 D、1

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11、若函数 $f (x) = {log}_{a} |x - 1|$ 在区间 $(1, 2)$ 上有 $f (x) > 0$ ，则 $f (x)$ 的递增区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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12、已知 $tan (θ + \frac{π}{4}) = - 3$ ，则 $\cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、1 D、 $- 1$

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13、已知复数 $z$ 满足 $z i + 1 = \frac{1}{2 + i}$ ，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、设a为非负实数，函数 $f (x) = x | x - a | - a$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有且只有一个根，求实数a的取值范围．

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15、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数；②f (x) $\leq$ 75恒成立； $③$ $f (x) \leq \frac{x}{5}$ 恒成立．
(1)判断函数 $f (x) = \frac{x}{30} + 10$ 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数 $g (x) = a \sqrt{x} - 5 (a \geq 1)$ 符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 为奇函数，且 $f (4) = \frac{8}{17}$ ．
（1）求实数 $a, b$ 的值；
（2）判断 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）求不等式 $f (x^{2} - 2 x + 4) + f (- 4) \geq 0$ 的解集．

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17、求下列函数的值域：

(1)、 $y = \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1} (x > 1)$

(2)、 $y = 3 x - \sqrt{x + 1}$

(3)、 $f (x) = 3 x + 1 + \frac{9}{3 x - 2} (x < \frac{2}{3})$

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18、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 10 < 0\}, B = \{x | 2 - a \leq x \leq 2 a + 1, a \in R\}, C = \{x | - 3 < x < 3\}$

(1)、全集 $U = R$ ，求 $(∁_{U} A) \cap C$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围．

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19、（1）已知 $10^{m} = 2, 10^{n} = 3$ ，求 $10^{3 m - 2 n}$ 的值
（2）求值： $4^{\frac{1}{2}} - {(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}} - {(π - 3)}^{0} + 3^{π} \times {(\frac{1}{3})}^{π}$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 5, & x < 1 \\ x + \frac{1}{x} + 2, & x \geq 1 \end{matrix}$ ，若当 $x \in [m, n]$ 时， $f (x) \in [4, 5]$ ，则 $m - n$ 的最小值是．

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