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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P ⊥ C P$ ， $A P = C P$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A P C$ ．

(1)、若 $B P ⊥ C P$ ，证明： $A B ⊥ A P$ ；

(2)、若 $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，且直线 $A P$ 与平面 $B C P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ，求 $B C$ ．

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2、已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ．

(1)、设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(2)、求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率．

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3、记锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{c}{b} - \frac{cos C}{cos B} = 2 cos A$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、延长 $A C$ 到 $D$ ，使 $A C = 2 C D, ∠ C B D = 15^{\circ}$ ，求 $tan A$ ．

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4、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = \frac{5}{3}$ ， $3 a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{2025} < m$ ，求整数 $m$ 的最小值．

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5、设正三角形的三边分别经过点 $(0, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(\sqrt{2}, 0)$ ，则该三角形面积的最大值为．

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6、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = x$ 的焦点为F．A，B为 $C$ 上两点， $O A ⊥ A B$ ．当 $∠ A O F = \frac{π}{4}$ 时， $|A B| =$ ； $3 |F A| + |F B|$ 的最小值为．

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7、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{d}{a_{1}} + \frac{a_{3}}{d} = 4$ ，则 $\frac{S_{2025}}{a_{2025}} =$ ．

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8、若 $x^{10} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x + 1)}^{10}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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9、已知定义在区间 $[1, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1, 1 \leq x < 2 \\ \frac{f (x - 1)}{1 + f (x - 1)}, x \geq 2 \end{cases}$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $f (2025) = \frac{1}{2025}$ B、当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{x} \leq f (x) < \frac{1}{x - 1}$ C、若 $f (x) \leq \frac{k}{x + 1}$ ，则 $k \geq 2$ D、若 $f (x) \geq a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ ，则 $a \leq \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

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10、设随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{12}$ B、 $A$ ， $B$ 相互独立 C、 $P (A| B) = \frac{1}{4}$ D、 $P (B | \bar{A}) = \frac{1}{4}$

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11、已知点 $O (0, 0)$ ， $A (0, 1)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (1, 0)$ ，平面上仅在线段 $O A$ ， $A B$ ， $B C$ 所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量 $\vec{s} = (1, m) (m > 0)$ 的方向从线段 $O C$ 上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在 $B C$ ， $A B$ ， $O A$ 各反射一次后从线段 $O C$ 上某点射出，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, 2)$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{2}{3}, 2)$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$

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12、设 $A B$ 为圆锥 $S O$ 底面的一条直径， $P$ 为底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的一点， $Q$ 为 $S O$ 中点，且二面角 $S - P A - B$ 与二面角 $Q - P B - A$ 相等．若三棱锥 $S - A B P$ 的体积为 $V$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{5 π}{3} V$ B、 $\frac{5 π}{4} V$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} V$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} π}{4} V$

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13、已知x，y为实数，则“ $x y > 0$ ”是“ $| x + y | = | x | + | y |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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14、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) \cos (β + \frac{π}{6}) = 1$ ，则 $\tan (α - β) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、0 D、 $- \sqrt{3}$

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不平行， $(λ \vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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16、设集合 $S = {x | - 2 < x < 2}$ ， $A = {x ∣ x \in S}$ ， $B = \{x^{2} ∣ x \in S\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2}$

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17、若 $f (x) = {(x - 2)}^{2} + 2 a x$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、－4 B、－2 C、0 D、2

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18、已知 $z = 3 - 4 i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、5 D、7

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19、中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率 $C$ 取决于信道带宽 $W$ 、信道内信号的平均功率 $S$ 、信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从2000提升至10000，则 $C$ 大约增加了 $(\lg 2 \approx 0.3010)$ （）

A、 $18 %$ B、 $21 %$ C、 $23 %$ D、 $25 %$

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20、已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ 或2 B、2 C、 $- 1$ D、1

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