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相关试卷

1、已知直线 $l$ 过点 $A (1, 2, 0)$ ，且直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{m} = (0, - 1, 1)$ ，则坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为.

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2、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 8$ ，则 $a b$ 的最小值为.

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3、下列说法中错误的是（）

A、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c < b d$ B、若 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、若 $1 < a < 3$ ， $- 1 < b < 0$ ，则 $1 < a - b < 4$ D、若 $a < 0$ ， $a b > a^{2}$ ，则 $b^{2} < a^{2}$

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4、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{A B} = 4 \vec{F_{2} B}$ ， $|F_{1} A| = 2 |F_{2} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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5、某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A． $y = k x + b (k > 0)$ ；B． $y = k \cdot {1.5}^{x} + b (k > 0)$ ；C． $y = k \log_{2} (\frac{x}{15} + 2) + n (k > 0)$ ．

(1)、请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；

(2)、根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？

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6、已知向量 $\vec{A B} = (2, 2)$ ，则与 $\vec{A B}$ 共线且反向的单位向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 或 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(2, 2)$

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7、在同一坐标系内，函数 $y = x^{a}$ （ $a \neq 0$ ）和 $y = a x - \frac{1}{a}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $f (x)$ 的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称 B、关于 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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9、某公司生产 $A$ 产品，每月的固定成本为10000元，每生产一件 $A$ 产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入 $R$ （单位：元）关于月产量 $x$ （单位：台）满足函数： $R = \{\begin{matrix} 600 x - x^{2}, 0 \leq x \leq 400 \\ 60000 + 50 x, x > 400 \end{matrix}$ .则该公司的月利润的最大值为元.

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10、已知关于x的不等式 $a (x - 1) (x - 2) > 2 x^{2} - 8 x + 8$ 的解集为A.

(1)、当 $a = 1$ 时，求集合A；

(2)、若集合 $A = (- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ ，求a的值；

(3)、若 $3 \notin A$ ，直接写出a的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = | \lg (x + 1) |$ ，对a，b满足 $- 1 < a < b$ 且 $f (a) = f (b)$ ，则下面结论一定正确的是（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a b = 1$ C、 $a b - a - b = 0$ D、 $a b + a + b = 0$

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12、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（）

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 16$ B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、直线 $x = - 2$ 被椭圆截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ D、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $4$

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13、直线l： $y = x + 1$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、都有可能

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14、已知 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x + \frac{π}{6})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期：

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上的单调区间.

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15、已知 $n$ 个不同的椭圆 $E_{i} : x^{2} + 3 y^{2} = a_{i}^{2} (a_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n)$ ，射线 $l_{1} : y = k_{1} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}$ ， $\dots, E_{n}$ 分别交于点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，射线 $l_{2} : y = k_{2} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $B_{1}, B_{2}$ ， $\dots, B_{n}$ .

(1)、证明： $A_{1} B_{1}$ $∥$ $A_{2} B_{2}$ ；

(2)、作射线 $l : y = k x (x \geq 0)$ （异于 $l_{1}, l_{2})$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ ，记 $△ A_{i} B_{i} P_{i}$ 的面积为 $S_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ .
（i）求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值；
（ii）若 $k_{1} = 1, k_{2} = - 4$ ，且 $a_{i} = \frac{1}{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记 $S = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}$ ，证明： $S < \frac{31}{42}$ .
（参考数据： $4.5 < \sqrt{21} < 4.6$ ）

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16、已知函数 $f (x) = λ ln x (λ > 0), g (x) = \frac{x - a}{x} (a > 0, x > 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有公共点，且在该点处的切线相同.

(1)、用 $λ$ 表示 $a$ ，并求 $a$ 的最小值；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、已知 $h (x) = x ln x$ ，若方程 $h (x) = m$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $|x_{2} - x_{1}| < m + 1$ .

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17、已知 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C, 3 sin (A + B) = 5 sin (A - B)$ .

(1)、若 $B \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $tan C$ 的取值范围；

(2)、若 $c^{2} = a cos B + b cos A, b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18、近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为 $A$ 款､ $B$ 款､ $C$ 款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个.

(1)、若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个 $A$ 款玩偶的概率；

(2)、若小明只想要 $A$ 款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出 $A$ 款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出 $A$ 款玩偶，老板就赠送一个 $A$ 款玩偶给他.为了得到 $A$ 款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D$ $∥$ $B C, P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = B C = 4$ ， $A B = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值.

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20、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 6 \sqrt{3}, ∠ C A B = ∠ A B C = 30^{\circ}, E, F$ 分别是线段 $A C, B C$ 上的点，且 $A E = 2$ ， $B F = 4, N$ 为 $E F$ 的中点，则 $tan ∠ N B A =$ .

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