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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $| z | = 2$ ，则 $| z + 3 + 4 i |$ 最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2、基本不等式可以推广到一般的情形：对于 $n$ 个正数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时，等号成立．若无穷正项数列 $\{a_{n}\}$ 同时满足下列两个性质：① $\exists M > 0, a_{n} < M$ ；② $\{a_{n}\}$ 为单调数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

(1)、若 $a_{n} = n + \frac{4}{n^{2}}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{2^{n} - 1}$ ，记 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ ，判断数列 $\{S_{n}\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(3)、若 $c_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ，求证：数列 $\{c_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过点 $P (2, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $A, B$ ．若 $A$ 是椭圆 $C$ 的短轴端点时， $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{A P} = 3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、试判断是否存在 $l$ ，使得 ${|F_{1} A|}^{2}, \frac{{|F_{1} P|}^{2}}{2}, {|F_{1} B|}^{2}$ 成等差数列？若存在，求出直线 $l$ 的方程：若不存在，说明理由．

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4、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD为梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 6$ ， $A D = C D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点E在线段AB上，且 $A E = 2$ ， F为BC的中点．

(1)、求证： $C_{1} E ∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若直线 $D_{1} E$ 与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角 $B_{1} - E F - C_{1}$ 的余弦值．

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5、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x + 2 a) e^{x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[2, 7]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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6、设直线 $l : x + y - 1 = 0$ ，一束光线从原点 $O$ 出发沿射线 $y = k x (x \geq 0)$ 向直线 $l$ 射出，经 $l$ 反射后与 $x$ 轴交于点 $M$ ，再次经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $N$ ．若 $|\vec{M N}| = \sqrt{5} |\vec{O M}|$ ，则 $k$ 的值为.

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7、春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有种．

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $A_{1} C$ 上一点，则 $∠ A P D_{1}$ 的大小可以为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9、已知 $△ A B C$ 中， $|\vec{A B}| = 8$ ， $|\vec{A C}| = 2$ ，且 $| \frac{λ}{2} \vec{A B} + (2 - 2 λ) \vec{A C} |$ $(λ \in R)$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ ，若P为边AB上任意一点，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{51}{4}$ B、 $- \frac{49}{4}$ C、 $- \frac{9}{16}$ D、 $- \frac{25}{16}$

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的顶点 $(a, 0)$ 到渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 的距离为 $\frac{b}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、定义：对于 $f (x)$ 定义域内的任意一个自变量的值 $x_{1}$ ，都存在唯一一个 $x_{2}$ 使得 $\sqrt{f (x_{1}) f (x_{2})} = 1$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（）

A、 $f (x) = \ln x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = e^{\sin x}$ D、 $f (x) = \cos x$

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12、若 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、3 D、5

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13、若集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{y| y = \sqrt{x}, x \in R\}$ ，则 $α \in A$ 是 $α \in B$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴端点和长轴端点间的距离为 $\sqrt{7}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过左焦点的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在 $C$ 上.
（i）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 为坐标原点，求直线 $A B$ 的方程；
（ii）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，求 $G$ 的横坐标的取值范围.

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15、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $P B = 2 \sqrt{6}$ ， $P C = 6$ ， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、证明： $P A = P D$ ；

(2)、若二面角 $P - A D - B$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，求直线 $B C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的值域；

(2)、若存在 $x_{0} > 1$ ，当 $x \in (0, x_{0})$ 时， $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17、记 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} b \sin A = a (\cos B + 1)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、设 $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $C D = 2 \sqrt{3}$ ， $a = 2$ ，求 $b$ .

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 等可能取 $- 1$ ， 0或1，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0$ ，且 $b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}$ ，则 $b_{5} = 0$ 的概率为．

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19、若曲线 $y = e \ln x$ 在点 $(e, e)$ 处的切线与圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则 $a =$ .

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20、在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $P A = 1$ ， $Q$ 是底面 $△ A B C$ 内（含边界）一点，则下列说法正确的是（）

A、点 $Q$ 到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值 B、顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 到直线 $P Q$ 的距离的平方和为定值 C、直线 $P Q$ 与该三棱锥三个侧面所成角的正弦值的和有最大值 $\sqrt{3}$ D、直线 $P Q$ 与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值 $\frac{3}{2}$

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