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相关试卷

1、函数 $y = \log_{2} x + \cos \frac{π}{4}$ 的导数 $y^{'}$ =（）

A、 $\frac{1}{x \ln 2}$ B、 $x \ln 2$ C、 $\frac{1}{x \ln 2} - \sin \frac{π}{3}$ D、 $x \ln 2 - \sin \frac{π}{3}$

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2、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点 $O$ ，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合.若角 $α$ 的终边绕着原点按顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后经过点 $P (3, - 4)$ ，则 $tan α =$ .

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3、已知点 $P_{1} (1, - 2)$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，过点 $P_{1}$ 作斜率为 $1$ 的直线交 $C$ 于另一个点 $Q_{1}$ ，设 $P_{2}$ 与 $Q_{1}$ 关于 $x$ 轴对称，再过 $P_{2}$ 作斜率为 $1$ 的直线交 $C$ 与另一个点 $Q_{2}$ ，设 $P_{3}$ 与 $Q_{2}$ 关于 $x$ 轴对称，以此类推一直做下去，设 $P_{n} (x_{n}, y_{n}) (n \in N^{*})$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、求证：数列 $\{y_{n}\}$ 是等差数列，并求 $x_{n}$ 、 $y_{n}$ ；

(3)、求 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积．

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4、对于椭圆： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，我们称双曲线： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 为其伴随双曲线．已知椭圆 $C :$ $\frac{y^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $0 < b < \sqrt{3}$ ），它的离心率是其伴随双曲线 $Γ$ 离心率的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍．

(1)、求椭圆 $C$ 伴随双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、如图，点 $E$ ， $F$ 分别为 $Γ$ 的下顶点和上焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 上支交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $△ A B O$ 的面积为 $S$ ， $∠ A O B = θ$ （其中 $O$ 为坐标原点）．若 $△ A B E$ 的面积为 $6 + 3 \sqrt{3}$ ，求 $\frac{S}{\tan θ}$ ．

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5、如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点， $A D = 2 B C = 2 E F = 4$ ．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形 $A_{1} B_{1} F E$ 处，使得 $A_{1} C = 3$ ，如图2，G在 $A_{1} E$ 上，且 $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{A_{1} G}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C //$ 平面DFG；

(2)、求平面DFG与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x + 1 (x \in R)$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $A$ 为锐角，且 $f (A + \frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值．

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7、《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中 $P D ⊥$ 平面ABCD，若 $D E ⊥ P A$ ， $D F ⊥ P B$ ， $D G ⊥ P C$ ，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为．

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8、函数 $f (x) = \sin x - 2 | \sin x |, x \in [0, 2 π]$ 的图像与直线 $y = k$ 有且仅有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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9、若复数z满足(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则|z|＝.

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10、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $S_{n}$ 是其前n项和，满足 $a_{3} = 2 a_{1} + a_{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是正项数列，则 $\{a_{n}\}$ 是单调递增数列 B、 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ 一定是等比数列 C、若存在 $M > 0$ ，使 $|a_{n}| \leq M$ 对 $\forall n \in N^{+}$ 都成立，则 $\{| a_{n} |\}$ 是等差数列 D、若 $a_{n} > 0$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{100}$ ， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n}$ ，则 $n = 7$ 时 $T_{n}$ 取最小值

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11、下列命题中，正确的有（）

A、 $x + \frac{4}{x}$ 最小值是4 B、“ $a > 1$ ”是 $a^{2} > a^{}$ 的充分不必要条件 C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若a， $b \in R^{*}$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为9

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12、已知函数 $g (x) = x e^{2 x} - m x - \ln x$ ，（其中 $e$ 是自然对数的底数），若 $g (x) \geq 1$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $(- \infty, \frac{2}{e^{2}}]$ C、 $(- \frac{1}{e}, 2]$ D、 $(- \infty, 2]$

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13、若 $a = 2 \ln 1.1$ ， $b = 0.21$ ， $c = \tan 0.21$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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14、已知 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点，圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 关于直线 $y = x - 1$ 对称的圆为 $C_{2}$ ， $N$ 是圆 $C_{2}$ 上的一点，则 $|M N|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{2} - 1$ D、 $\frac{3}{7}$

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15、二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是 $m (m \in N)$ 万，则 $m =$ （）

A、13 B、14 C、15 D、16

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16、如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} - 2 \vec{P A}) =$ （）

A、－8 B、－4 C、0 D、4

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17、某生产线正常生产下生产的产品 $A$ 的一项质量指标 $X$ 近似服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq a) = P (X \geq 1 + 2 a)$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、3 C、4 D、9

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18、已知动圆 $M$ （ $M$ 为圆心）过定点 $P (2, 0)$ ，且与定直线 $l : x = - 2$ 相切．

(1)、求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程；

(2)、设过点 $P$ 且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与（1）中的曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $S_{△ A O B}$ ；

(3)、设点 $N (a, 0)$ 是 $x$ 轴上一定点，求 $M$ 、 $N$ 两点间距离的最小值 $d (a)$ ．

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19、如图所示，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A B = A A_{1} = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A D$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} N //$ 平面 $B D M$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ，求 $A M$ 与平面 $D D_{1} M$ 所成角的正弦值；

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20、已知 $S_{n}$ 为数列 $a_{n}$ 的前n项和， $a_{1} =1,$ $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为1的等差数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{3} ≤ \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} +⋯+ \frac{1}{a_{n} a_{n +1}} < \frac{1}{2}$ ．

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