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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, x^{2})$ ， $\vec{b} = (1, \frac{1}{x})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ （）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(0, 5)$ D、 $(0, 3)$

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2、已知随机变量 $X ~ B (3, p)$ ， $0 < p < 1$ ，且 $E (X) = 3 D (X)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3、已知集合 $M = \{x | x > - \frac{1}{2}\}$ ， $N = \{x | x \in Z, - 4 < x \leq 3\}$ ，则 $M \cap N$ 中元素的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} + S_{n} = 2$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n} - 2\}$ 是等比数列 D、 $a_{n} S_{n}$ 的最大值是1

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5、已知集合 $M = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $N = \{x |2 x - 1 > 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{1 - sin B}{cos B} = \frac{1 - cos 2 A}{sin 2 A}$ ，则 $\frac{b^{2}}{a^{2} + 2 c^{2}}$ 的取值范围是．

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7、已知 $a = {(\frac{3}{5})}^{\frac{1}{3}}$ ， $b = {(\frac{3}{5})}^{- \frac{1}{3}}$ ， $c = \log_{\frac{3}{5}} 3$ ，则a、b、c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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8、已知点 $A (2, - 3), B (- 2, 1)$ ，若过点 $P (1, 2)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 相交，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（　）

A、 $k \geq \frac{1}{3}$ 或 $k \leq - 5$ B、 $k \geq \frac{1}{3}$ 或 $k \leq - \frac{1}{5}$ C、 $- 5 \leq k \leq \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{5} \leq k$ $\leq \frac{1}{3}$

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9、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 5, x \geq 6 \\ f (x + 1), x < 6 \end{array}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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10、“ $|x - 1| < 2$ ”是“ $0 < x < 3$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x |x - 1 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{2\}$

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} + x) \cos (\frac{π}{4} - x)$ ，要得到函数 $g (x) = \sin 2 x - 2 \cos^{2} x + 1$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度

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13、一正三棱台木块 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 如图所示，已知 $2 A C = 3 A_{1} C_{1} = 6, A A_{1} = 2$ ，点 $O$ 在平面 $A B C$ 内且为 $△ A B C$ 的重心.

(1)、过点 $O$ 将木块锯开，使截面经过 $A_{1} C_{1}$ 平行于直线 $A C$ ，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；

(2)、求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比；

(3)、在棱台的底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 上（包括边界）是否存在点 $M$ ，使得直线 $O M / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ？若存在，求 $O M$ 长的取值范围；若不存在，说明理由.

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14、某数学兴趣小组成员为测量某古塔的高度，如图，在塔底 $O$ 的同一水平面上的A、B两点处进行测量，已知在A处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $60 ^{\circ}$ ，在 $B$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $45^{\circ}, A B = 25$ 米， $∠ A O B = 30 ^{\circ}$ ，则该塔的高度 $O P =$ .

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (2, 0)$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量 $\vec{c} =$ （用坐标表示）.

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16、已知正实数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ，定义： $A^{2} = \{a_{i} a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ 称为 $A$ 的平方集．记 $n (A)$ 为集合 $A$ 中的元素个数．

(1)、若 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{2, 3, 5, 7\}$ 求集合 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ ；

(2)、若 $n (A^{2}) = 5050$ ，求 $n {(A)}_{\min}$ ；

(3)、① $n (A)$ 分别取1，2，3时，试比较 $n (A^{2})$ 和 $2 n (A) - 1$ 的大小关系；
②猜想 $n (A^{2})$ 和 $2 n (A) - 1$ 的大小关系，并证明你的结论．

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17、已知动点M到定点 $F (1, 0)$ 的距离比点M到定直线 $x = - 2$ 的距离小1，直线 $l : y = k (x - 1)$ 交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限）

(1)、求点M的轨迹C的方程；

(2)、若过 $(1, 0)$ 且与 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 与曲线C交于C，D两点：（点C在第一象限）
（i）求四边形 $A C B D$ 面积的最小值．
（i i）设 $A B$ ， $C D$ 的中点分别为P，Q，求证：直线 $P Q$ 过定点．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + (x - a) \cos x - \sin x$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性.

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19、 $\begin{matrix} △ \end{matrix} A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上的点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $\begin{matrix} △ \end{matrix} A B D$ 面积是 $\begin{matrix} △ \end{matrix} A D C$ 面积的2倍．

(1)、求 $\frac{sin B}{sin C}$ ；

(2)、若 $A D = 1$ ， $D C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $B D$ 和 $A C$ 的长．

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20、一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b， $c \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共个．

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