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相关试卷

1、已知不等式 $ln x \leq x - 1$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立（当且仅当 $x = 1$ 时等号成立），下列不等式正确的是（）

A、 $ln x \geq 1 - \frac{1}{x} (x > 0)$ B、 $\frac{3}{7} < ln 7 - ln 4 < \frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2025} > ln 2025$ D、 $\frac{1}{7^{7}} + \frac{1}{7^{5}} + \frac{3}{7^{4}} + \frac{5}{7^{3}} + \frac{5}{7^{2}} + \frac{3}{7} + 2 < e$

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2、下列说法正确的有（）

A、已知随机事件 $A, B$ 的概率不为0，若 $A$ 和 $B$ 相互独立，则 $A$ 和 $B$ 一定不互斥 B、若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = - 0.2 x + 0.8$ ，则样本点 $(2, - 1)$ 的残差为1.4 C、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的平均数为2，方差为12，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 16$ D、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (4, \frac{1}{9})$ ，则 $E (2 X + 1) = 9, D (2 X + 1) = \frac{4}{9}$

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3、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}, ∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，则 $| P A | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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4、已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以 $A$ 为顶点的等腰三角形，若 $A, B, C$ 分别是该三角形的三个内角，则 $tan \frac{B}{3} + tan \frac{2 B}{3} + tan B + tan \frac{B}{3} tan \frac{2 B}{3} tan B =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、0 D、1

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5、若函数 $f (x)$ 有唯一零点，且 $f (x + 1) = x^{2} - 1 + a (e^{x} + e^{- x})$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6、某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为 $1 : 2 : 2$ ，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有 $\frac{2}{3}$ 的人投票给1号菜品，教工代表中有 $\frac{1}{4}$ 的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（）

A、 $\frac{8}{21}$ B、 $\frac{13}{21}$ C、 $\frac{4}{21}$ D、 $\frac{3}{7}$

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7、已知直线 $m, n, l$ ，平面 $α, β$ ，若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，且 $α \cap β = l$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m \subset α$ ，则直线 $m$ 必垂直于平面 $β$ 内的无数条直线

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8、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a}| = \sqrt{2} |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9、若 $\frac{z + 2}{z} = 2 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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10、若集合 $A = \{x ∣ \sqrt{x} \leq 2\}, B = \{x ∣ {log}_{2} (x - 1) \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 4, 4]$ B、 $[1, 4]$ C、 $(1, 4]$ D、 $[0, 5]$

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11、某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．

(1)、求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；

(2)、设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．

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12、汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系为： $x = 4 + 16 e^{- 2 t}$ ．

(1)、求汽水温度x在 $t = 1$ 处的导数；

(2)、已知摄氏温度x与华氏温度y（单位：℉）的函数关系为 $x = \frac{5}{9} (y - 32)$ ．写出y关于t的函数解析式，并求y对t的导数．

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13、设随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{i}{a} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，求：

(1)、 $P (X = 1 或 X = 2)$ ；

(2)、 $P (\frac{1}{2} < X < \frac{7}{2})$

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14、我们称 $n$ （ $n$ 为正整数）元有序实数组 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为 $n$ 维向量， $|x_{1}| + |x_{2}| + \dots + |x_{n}|$ 为该向量的范数.已知 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x_{i} \in \{- 1, 0, 1\} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记范数为奇数的 $\vec{a}$ 的个数为 $A_{n}$ ，则 $A_{10} =$

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15、过坐标原点作曲线 $y = (x + 2) e^{x}$ 的切线，则切点的横坐标为.

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16、下列关于 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{10}$ 的二项展开式，说法正确的是（）

A、展开式共有10项 B、展开式的二项式系数之和为1024 C、展开式的常数项为8064 D、展开式的第6项的二项式系数最大

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17、对二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是

A、 $- 1$ 是 $f (x)$ 的零点 B、1是 $f (x)$ 的极值点 C、3是 $f (x)$ 的极值 D、点 $(2, 8)$ 在曲线 $y = f (x)$ 上

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 有且仅有两个零点 $- 1$ 和2，且 $- 1$ 又是函数 $f (x)$ 的极值点，则 $f (x)$ 的极小值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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19、甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用 $ξ$ 表示甲的得分，则 ${ξ = 3}$ 表示（　　）

A、甲赢三局 B、甲赢两局 C、甲、乙平局两次 D、甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

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20、函数 $y = \frac{sin x}{x}$ 的导数是（）

A、 $y^{'} = \frac{x cos x + sin x}{x^{2}}$ B、 $y^{'} = \frac{x cos x - sin x}{x^{2}}$ C、 $y^{'} = \frac{cos x + sin x}{x}$ D、 $y^{'} = \frac{cos x - sin x}{x}$

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