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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.

(1)、已知 $\sin A = \frac{\cos^{2} B - \cos^{2} C}{\sin A - \sin B}$ ， $c = 3$ ， $a + b = 3 \sqrt{2}$ ，若 $∠ A C B$ 的平分线交 $A B$ 于点D，求线段 $C D$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $C = \frac{π}{3}$ ， $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $C H = 3$ ，求 $\frac{\sqrt{3} C H - A H}{B H}$ 的取值范围；

(3)、若 $b = \sqrt{3} a$ ，令 $t = \frac{\sin B}{3 \cos A + \sqrt{3} \cos B}$ ，试求 $t$ 的最大值.

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2、已知圆锥的顶点为 $P$ ，母线 $P A, P B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ ，轴截面等腰三角形 $P A C$ 的顶角为 $90^{\circ}$ ，若 $△ P A B$ 的面积为 $2 \sqrt{15}$ .

(1)、求该圆锥的侧面积；

(2)、求圆锥的内切球的表面积；

(3)、求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.

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3、某海域的东西方向上分别有 $A, B$ 两个观测点（如图），它们相距 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里.现有一艘轮船在 $D$ 点发出求救信号，经探测得知 $D$ 点位于 $A$ 点北偏东 $45 °$ ， $B$ 点北偏西 $60 °$ ，这时，位于 $B$ 点南偏西 $60 °$ 且与 $B$ 点相距 $40 \sqrt{3}$ 海里的 $C$ 点有一救援船，其航行速速为 $30$ 海里/小时.

(1)、求 $B$ 点到 $D$ 点的距离 $B D$ ；

(2)、若命令 $C$ 处的救援船立即前往 $D$ 点营救，求该救援船到达 $D$ 点需要的时间.

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点

(1)、求证： $B P / /$ 平面 $C_{1} M N$ ；

(2)、求证： $P$ 、 $M$ 、 $C$ 、 $C_{1}$ 四点共面；

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5、圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线 $A B = 8 cm$ ， A在上底面上，B在下底面上，从 $A B$ 中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为cm

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6、已知正方体的外接球的表面积是 $36 π$ ，则该正方体的内切球的体积为.

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ，点 $E$ 为边 $A B$ 上的任意一点（包含端点）， $O$ 为线段 $A C$ 的中点，则 $\vec{O E} \cdot \vec{C E}$ 的取值范围是．

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8、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $D D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是底面 $A B C D$ 内一动点，则下列结论正确的为（）

A、存在点 $P$ ，使得 $F P //$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ B、过 $B, E, F$ 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} P$ 的体积为定值 D、三棱锥 $F - A C D$ 的外接球表面积为 $9 π$

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9、若复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $z (i - 1) = i^{2025} - 1$ ，则 $Z$ 在第二象限 B、若 $z$ 为纯虚数，则 $Z$ 在虚轴上 C、若 $|z| \leq 3$ ，则点 $Z$ 的集合所构成的图形的面积为 $6 π$ D、若 $|z| = 1$ ，则 $z + \frac{1}{z}$ 为实数

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则正确的是（）

A、 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可作为一组基底向量 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $N$ 为线段 $A C$ 上靠近 $A$ 点的三等分点， $P$ 为线段 $B N$ 上一点，若 $\vec{A P} = (m + \frac{1}{10}) \vec{A B} + \frac{1}{10} \vec{B C}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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12、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $B = \frac{π}{4}$ ， $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b = 2 \sqrt{5}$ ，则 $A C$ 边上的高 $h =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{7 \sqrt{6}}{8}$

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13、如图， $△ A O B$ 的斜二测画法的直观图是腰长为 $4 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形， $y^{'}$ 轴经过 $A^{'} B^{'}$ 的中点，则 $|A B| =$ （）

A、8 B、 $4 \sqrt{6}$ C、12 D、 $8 \sqrt{6}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, λ)$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{b}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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15、复数 $z = (1 + i) (1 - 2 i) - 3 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ， $B = \{x |3 x - a < 0\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(9, + \infty)$ B、 $[9, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3)$ D、 $(- \infty, - 3]$

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17、沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 $\frac{2}{3}$ ，则这些细沙的体积为（）

A、 $\frac{8}{3} {πcm}^{3}$ B、 $\frac{16}{3} {πcm}^{3}$ C、 $8 {πcm}^{3}$ D、 $\frac{32}{3} {πcm}^{3}$

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ． ① $\{a_{n}\}$ ， $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 都是等差数列；② $\sqrt{S_{n}}$ 是等差数列， $S_{3} = 9$ ；③ $\{a_{n}\}$ 是正项数列， $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ．从①②③中选择一个条件，完成下列问题．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，并解不等式 $T_{n} > \frac{1011}{2023}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19、在二项式 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{8}$ 的展开式中，求：

(1)、展开式的第四项；

(2)、展开式的常数项；

(3)、展开式的各项系数的和．

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 6 x - 3$

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最值；

(2)、在所给的坐标系中画出函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的图象；

(3)、若直线 $y = 6 x + b$ 是函数 $f (x)$ 的一条切线，求 $b$ 的值.

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