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相关试卷

1、已知过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则θ的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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2、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 8 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $4 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3、设两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O A}$ 方向逆时针旋转到 $\vec{O B}$ 方向所成的角为 $θ$ .定义伪叉积： $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| sin θ$ .规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 、 $λ \in R$ ，满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$ ， $(λ \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (λ \vec{b}) = λ (\vec{a} \times \vec{b})$ .

(1)、设 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，计算 $\vec{a} \times \vec{b}$ 和 $\vec{b} \times \vec{a}$ ；

(2)、设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，求证： $\vec{a} \times \vec{b} = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ ；

(3)、设四边形 $A B C D$ 有外接圆，圆心为 $O$ ，半径为 $2$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相互垂直且交点为 $E$ ， $O E = 1$ ， $A B$ 、 $C D$ 交于 $F$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $A C$ 、 $B D$ 的中点，求三角形 $F M N$ 的面积的最大值.

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4、如图，三棱锥 $P - A B C$ 各棱长均为 $1$ ，侧棱上的 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 满足 $P D = D A$ ， $\frac{B E}{B P} = \frac{P F}{P C} = λ$ ，线段 $B C$ 上的点 $G$ 满足 $A G //$ 平面 $D E F$ .

(1)、 $Q$ 在 $P C$ 上， $A Q // D F$ ，求证：平面 $A G Q //$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $G C = 2 B G$ ，且 $λ \neq \frac{1}{2}$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、求三棱锥 $G - D E F$ 体积的最大值.

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5、在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形 $A B C D$ 区域中，将三角形 $A B D$ 区域设立成花卉观赏区，三角形 $B C D$ 区域设立成烧烤区，边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 修建观赏步道，边 $B D$ 修建隔离防护栏，其中 $C D : B C = 1 : 2$ ， $B D = 100$ 米， $∠ A = \frac{π}{3}$ .

(1)、要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大， $A D$ 、 $A B$ 的长度分别是多少？

(2)、求烧烤区占地面积的最大值.

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6、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $b sin B - a sin A = c (sin C + sin A)$ ， $\vec{A D} = t \vec{A C}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $B D ⊥ A E$ ，求 $t$ 的值.

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的大小；

(2)、若向量 $\vec{c} = (x, y)$ 满足 $\vec{c} = - y \vec{a} + (1 - x) \vec{b}$ ，求 $|\vec{c}|$ 的值.

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8、复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $|z_{1} - 1| = |\bar{z_{1}} + i|$ ， $|z_{2} - 2| = 1$ ，则 $|z_{1} - z_{2}|$ 的最小值为.

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9、已知圆锥底面半径为 $2$ ，侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则此圆锥的母线长为.

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10、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} C_{1} //$ 平面 $A C D_{1}$ B、存在点 $P$ ，使得直线 $A C$ 与 $B P$ 共面 C、 $P B_{1} + P A$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ D、若 $M$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，且 $M P //$ 平面 $A B B_{1} A$ ，则 $M P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、在直角坐标系中， $M (- 1, - 1), N (1, 3), P (3, - 3), Q (2, 5)$ ，则以下判断正确的是（）

A、 $△ M P Q$ 为直角三角形 B、 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 依次连起来是一个四边形 C、 $cos ∠ M P Q = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $S_{△ P Q N} = 5$

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12、以下复数运算一定成立的是（）

A、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ B、 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ （ $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 均不为 $0$ ） C、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ D、 ${|z|}^{2} = z^{2}$

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $S = (\frac{1}{2} b^{2} - c^{2}) sin A$ ， $\frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan C} = \frac{2}{tan B}$ ，则 $A =$ （）

A、120° B、135° C、150° D、165°

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14、如图，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $D A ⊥ A B, ∠ D = 45 °, A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}, A D = 6$ ，现将该四边形沿 $A B$ 旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（）

A、 $(16 \sqrt{2} + 16) π$ B、 $(28 \sqrt{2} + 4) π$ C、 $(36 \sqrt{2} + 36) π$ D、 $(36 \sqrt{2} + 40) π$

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15、已知正三棱锥 $P - A B C$ ， $P A = 3 \sqrt{2}$ ， $A B = 6$ ，则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $27 \sqrt{6} π$ B、 $81 \sqrt{3} π$ C、 $27 \sqrt{2} π$ D、 $81 \sqrt{2} π$

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16、已知正四面体的表面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则它的体积为（）

A、 $3$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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17、已知向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，且 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 6 + 4 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、 $- i$ C、 $1$ D、 $i$

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19、已知 $t \in R$ ， $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, t)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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20、对集合A，若存在实数k，使得对于 $\forall x \in A$ ， $x \geq k$ ，则称集合A有下界k，实数k的最大值为函数的下确界，记作 $\inf A$ ．

(1)、记函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ ， $x \in (0, 3)$ 的值域为B，求 $\inf B$ ；

(2)、已知函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} \frac{a^{2}}{x} - 1, x > 0, \\ a \cdot 4^{x} - 2^{x}, x \leq 0, \end{array}$
（i）记集合 $C = \{y |y = g (x), x \in R\}$ ，若 $\inf C = - 1$ ，求实数α的取值范围；
（ii）记集合 $P = \{y |y = g (x), x \geq a\}$ ， $Q = \{y |y = g (x), x < a\}$ ，若 $\inf P = \inf Q$ ，求实数a的值．

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