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相关试卷

1、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ，以 $A B, A C$ 为直径分别作半圆， $P$ 是两段半圆弧上的动点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 6]$ B、 $[- 2, 5]$ C、 $[- 2, 6]$ D、 $[- 1, 5]$

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2、设函数 $g (x) = f (x) - |x|$ 是奇函数， $h (x) = f (x) + 2$ ，若 $f (1) = 3$ ，则 $h (- 1) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3、 ${(2 x + y - 1)}^{6}$ 的展开式中，含 $x y^{4}$ 的项的系数是（）

A、 $- 60$ B、 $- 30$ C、30 D、60

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4、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x_{1})}^{2} =$ （）

A、 $n^{2}$ B、 $n$ C、1 D、0

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5、复数 $z$ 满足 $|z - 1| - |z + 1| = 1$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点的轨迹为（）

A、圆 B、双曲线的一支 C、椭圆 D、抛物线

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6、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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7、已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， $A B ∥ C D$ ， AD＝CD＝1，∠BAD＝120°， $P A = \sqrt{3}$ ， ∠ACB＝90°．

(1)、求证：BC⊥平面PAC；

(2)、求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．

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8、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 3, 2)$ ．
（ $1$ ）若 $t \overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 垂直，求实数 $t$ 的值；
（ $2$ ）若 $k \overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $2 \overset{⃑}{a} - 4 \overset{⃑}{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $k$ 的取值范围．

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9、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 $r$ 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是.

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10、已知复数 $z$ 在复平面内对应的点在射线 $y = 2 x (x \geq 0)$ 上，且 $|z| = \sqrt{5}$ ，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为．

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11、化简 $\overset{⇀}{A C} -$ $\overset{⇀}{B D} +$ $\overset{⇀}{C D} -$ $\overset{⇀}{A B}$ =

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12、在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} C ⊥ B D$ B、直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C D$ 所成的角为 $30 °$ C、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B D$ 的体积为 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ D、 $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $P$ 是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 内的动点．若 $M P$ ∥平面 $A B_{1} C$ ，则 $M P$ 的最大值为 $4 \sqrt{2}$

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13、对于 $△ A B C$ ，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ， $△ A B C$ 是钝角三角形 B、若 $A > B$ ，则 $sin A > \sin B$ C、若 $b = 8, c = 10, B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 D、在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积

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14、已知某圆锥的侧面积为 $4 π$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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15、已知在“斜二测”画法下， $△ A B C$ 的直观图是一个边长为4的正三角形，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $8 \sqrt{6}$ C、 $16 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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16、已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，平面 $α$ ， $l_{1} / / l_{2}$ ， $l_{1} / / α$ ，那么 $l_{2}$ 与平面 $α$ 的关系是（）

A、 $l_{2} / / α$ B、 $l_{2} ⊥ α$ C、 $l_{2} / / α$ 或 $l_{2} \subset α$ D、 $l_{2}$ 与 $α$ 相交

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17、已知复数 $z = \frac{2 i + 1}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、定义函数 $T_{n} (x)$ 满足 $T_{n} (cos x) = cos n x$ ，且 $T_{n} (x)$ 的定义域均为 $[- 1, 1]$ ， $n \in N^{*}$ ．已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} T_{1} (x) \cdot [T_{2} (x) + 1] ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及其定义域；

(2)、证明： $\frac{f (x)}{x^{2}} < e^{x} + cos x - 2$ ；

(3)、若 $x_{1}$ ， $x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ 是 $y = f (x) - a$ 的两个零点，证明： $a (\frac{2}{x_{1}^{3}} + \frac{1}{x_{2}^{3}}) < - 1$ ．

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19、高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为 $1, 2, \dots, 7$ ，用 $X$ 表示小球最后落入格子的号码．

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入 $X$ 号格子得到的奖金为 $Y$ 元，其中 $Y = \{\begin{array}{l} 10, X = 1 或 7 \\ 5, X = 2 或 6 \\ 1, X = 3 或 5 \\ 0, X = 4 \end{array}$ ，你觉得小州同学能盈利吗？

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20、已知 $f (x) = {(2 x + 3)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为512，且 ${(2 x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + a_{n} {(x + 2)}^{n}$ ．

(1)、求 $n$ 和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 的值；

(2)、若 $0 \leq a < 6$ ， $a \in N$ 且 $f (20) + a$ 被6整除，求 $a$ ．

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