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相关试卷

1、水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（）

A、 $(6 + 4 \sqrt{2}) π$ B、 $(8 + 4 \sqrt{3}) π$ C、 $(3 + 2 \sqrt{2}) π$ D、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$

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2、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点D， $△ A B D$ 的面积是 $△ A D C$ 面积的4倍，则 $\tan B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{8 - \sqrt{3}}{61}$ D、 $\frac{8 + \sqrt{3}}{61}$

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3、已知在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ，且 $|\vec{A E}| = 3$ ， $|\vec{A F}| = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为（）

A、-3 B、-6 C、-9 D、-12

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4、若 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{2 π}{3} - 2 α)$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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5、已知 $l$ ， m为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $α \cap β = l$ ， $l ∥ m$ ，则m至少与 $α$ ， $β$ 中一个平行 B、若 $l ∥ m$ ， $l \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $l ∥ α$ ， $α ∥ β$ ，则 $l / / β$ D、若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $l ∥ m$ ，则 $α ∥ β$

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6、若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（）

A、 $35 \sqrt{3} π$ B、 $70 \sqrt{3} π$ C、 $70 π$ D、 $140 π$

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7、 ${(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{2}} + \log_{8} 2$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{3}$ B、1 C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8、 $s i n 300^{\circ}$ 的值

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的个数， $g (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的和.

(1)、若数列 $a_{n} = f (3^{n}), b_{n} = g (3^{n})$ ，求数列 $c_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{b_{n} b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、对互不相等的质数 $p ､ q ､ r$ ，证明： $f (p^{3} q^{2} r) = f (p^{3}) f (q^{2}) f (r), g (p^{3} q^{2} r) = g (p^{3}) g (q^{2}) g (r)$ ，并求 $\frac{g (2200)}{f (2200)}$ 的值.

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10、已知 $f (x) = ln (\frac{x - a}{x + a}) + a x (a > 0)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < 0 < x_{2})$ ，证明 $f (x)$ 在 $(a, + \infty)$ 上有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \leq \frac{x_{2} - x_{1}}{2}$ .

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为凸四边形，且 $P D = A D = C D = 4$ ， $P A = P C = A C = 4 \sqrt{2}$ ， $A B = B C$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、已知平面 $A P C$ 与平面 $B P C$ 夹角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{57}}{57}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + e^{x - 1} + m x - 3$ ，若当 $x \in (1, 2)$ 时，函数 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $m$ 的取值范围是．

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13、 $3^{20}$ 被10除的余数为.

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14、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过焦点 $F$ 且不与 $x$ 轴垂直的直线与抛物线 $C$ 相交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，过原点 $O$ 作直线 $A B$ 的平行线与抛物线 $C$ 交于另一点 $P$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、线段 $O P$ 的中点和线段 $A B$ 的中点的连线与 $x$ 轴平行 C、以点 $O, P, A, B$ 为顶点的四边形可能为等腰梯形 D、 $|O P| = |x_{2} - x_{1}|$

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15、已知随机变量 $X \sim N (90, 900), Y \sim N (100, 400)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E (X) < E (Y)$ B、 $E (2 X - 10) = 170$ C、 $D (2 Y + 10) = 800$ D、 $P (X > 120) + P (Y < 120) = 1$

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16、已知a， $b \in R$ 且 $b \neq 0$ ， $\frac{a}{b} \neq - 1$ ， $\sin α = \frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}$ B、 $tan (\frac{π}{4} + α)$ C、 $\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}$ D、 ${tan}^{2} (\frac{π}{4} + \frac{α}{2})$

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17、在锐角 $△ A B C$ 中，记角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，且 $\sin A - \sin (B - C) = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、半径为4的实心球 $O_{1}$ 与半径为2的实心球 $O_{2}$ 体积之差的绝对值为（）

A、 $\frac{224}{3} π$ B、 $76 π$ C、 $75 π$ D、 $\frac{215}{3} π$

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19、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{3 m} = 1 (m > 0)$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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20、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 3\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}, x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- \sqrt{3}, 2]$ B、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ C、 $(0, 2]$ D、 $(0, \sqrt{3}]$

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