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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (- 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的大小；

(2)、若向量 $\vec{c} = (x, y)$ 满足 $\vec{c} = - y \vec{a} + (1 - x) \vec{b}$ ，求 $|\vec{c}|$ 的值.

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2、复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $|z_{1} - 1| = |\bar{z_{1}} + i|$ ， $|z_{2} - 2| = 1$ ，则 $|z_{1} - z_{2}|$ 的最小值为.

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3、已知圆锥底面半径为 $2$ ，侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则此圆锥的母线长为.

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4、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} C_{1} //$ 平面 $A C D_{1}$ B、存在点 $P$ ，使得直线 $A C$ 与 $B P$ 共面 C、 $P B_{1} + P A$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ D、若 $M$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，且 $M P //$ 平面 $A B B_{1} A$ ，则 $M P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、在直角坐标系中， $M (- 1, - 1), N (1, 3), P (3, - 3), Q (2, 5)$ ，则以下判断正确的是（）

A、 $△ M P Q$ 为直角三角形 B、 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 依次连起来是一个四边形 C、 $cos ∠ M P Q = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $S_{△ P Q N} = 5$

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6、以下复数运算一定成立的是（）

A、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ B、 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ （ $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 均不为 $0$ ） C、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ D、 ${|z|}^{2} = z^{2}$

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $S = (\frac{1}{2} b^{2} - c^{2}) sin A$ ， $\frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan C} = \frac{2}{tan B}$ ，则 $A =$ （）

A、120° B、135° C、150° D、165°

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8、如图，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $D A ⊥ A B, ∠ D = 45 °, A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}, A D = 6$ ，现将该四边形沿 $A B$ 旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（）

A、 $(16 \sqrt{2} + 16) π$ B、 $(28 \sqrt{2} + 4) π$ C、 $(36 \sqrt{2} + 36) π$ D、 $(36 \sqrt{2} + 40) π$

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9、已知正三棱锥 $P - A B C$ ， $P A = 3 \sqrt{2}$ ， $A B = 6$ ，则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $27 \sqrt{6} π$ B、 $81 \sqrt{3} π$ C、 $27 \sqrt{2} π$ D、 $81 \sqrt{2} π$

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10、已知正四面体的表面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则它的体积为（）

A、 $3$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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11、已知向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，且 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\sqrt{3}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 6 + 4 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、 $- i$ C、 $1$ D、 $i$

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13、已知 $t \in R$ ， $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, t)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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14、对集合A，若存在实数k，使得对于 $\forall x \in A$ ， $x \geq k$ ，则称集合A有下界k，实数k的最大值为函数的下确界，记作 $\inf A$ ．

(1)、记函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ ， $x \in (0, 3)$ 的值域为B，求 $\inf B$ ；

(2)、已知函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} \frac{a^{2}}{x} - 1, x > 0, \\ a \cdot 4^{x} - 2^{x}, x \leq 0, \end{array}$
（i）记集合 $C = \{y |y = g (x), x \in R\}$ ，若 $\inf C = - 1$ ，求实数α的取值范围；
（ii）记集合 $P = \{y |y = g (x), x \geq a\}$ ， $Q = \{y |y = g (x), x < a\}$ ，若 $\inf P = \inf Q$ ，求实数a的值．

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15、已知a，b，c分别为斜 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且满足 $b - a \cos C = \sqrt{3} a \sin C - \sqrt{3} c$ .

(1)、求角A的值；

(2)、记 $B C$ 边上的高为h，
（i）若 $h = \frac{\sqrt{3}}{14} a$ ，求 $\sin B : \sin C$ 的值；
（ii）求 $\frac{\sqrt{3} h}{b} + \frac{h}{c}$ 的取值范围.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， M，N分别是 $P B$ ， $C D$ 的中点， $A D = 3 B C$ ， $\vec{P E} = λ \vec{E D}$ ．

(1)、求证 $M N / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P B / /$ 平面 $A C E$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、当 $λ = 2$ 时，若 $P A = P B = P C = A D = 9$ ， $C D = 12$ ， $\vec{A F} = 2 \vec{F D}$ ，请在图中作出四棱锥 $P - A B C D$ 过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长．

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17、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{°}$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，若 $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ， $λ \in R$ ．

(1)、当 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ 时，求实数 $λ$ 的值；

(2)、当 $|\vec{c}|$ 取最小值时，求向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 夹角的大小．

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18、已知复数 $z = m^{2} - m - 2 + (m - 2) i$ ， $(m \in R)$ ，其中 $i$ 为虚数单位．

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $m = 3$ ，设 $z + i = (a + b i) \cdot (\bar{z} - i)$ ， $(a, b \in R)$ ，求 $a + b$ 的值．

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19、如图1，“折扇”又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，其平面图是如图2的扇形 $A O B$ ，其中 $∠ A O B = 150 °$ ， $O A = 3 O C = 3 O D = 3$ ，点E在弧 $C D$ 上运动（包括端点），记 $\vec{O E}$ 在 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量为 $\vec{O G}$ ，则 $\vec{O G} \cdot \vec{B E}$ 的取值范围是．

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20、甲船在B岛的南偏东 $30^{°}$ 方向A处， $A B$ 两地相距100千米．甲船向北偏西 $30^{°}$ 方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东 $30^{°}$ 的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为千米．

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