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相关试卷

1、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ B、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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2、已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A \cap ∁_{U} B = {1, 3, 4, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 ${2, 5, 7}$ B、 ${1, 3, 4, 6}$ C、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ D、 $\emptyset$

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3、已知集合 $P = {x| x (x - 1) \geq 0}, Q = \{x| \frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $P \cap Q$ 等于（）

A、 $\emptyset$ B、 $\{x| x \geq 1\}$ C、 ${x| x > 1}$ D、 ${x| x \geq 1 或 x < 0}$

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4、若 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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5、设函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 3^{- x}}{2}, g (x) = \frac{3^{x} + 3^{- x}}{2}$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 为奇函数 B、 $f (2 x) = 2 f (x) \cdot g (x)$ C、函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的值域为 $(- 1, 1)$ D、函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 在其定义域上为增函数

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6、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - b ln x$ ，其中 $b \in R$ ．

(1)、当 $b = 1$ 时，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在极值，求 $b$ 的取值范围．

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7、已知公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{1}, a_{3} - 1, S_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} a_{n + 1} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项的和.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x e^{x} - a, x < a, \\ 2 - x - 2 a, x \geq a \end{array}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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9、若随机事件 $A$ 、 $B$ 满足： $P (A) = P (B)$ ， $P (A + B) = \frac{7}{8}$ ， $P (A B) = \frac{5}{8}$ ，则 $P (A |B) =$ .

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{3 n + k}{2^{n}}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，则实数k不能取的值是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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11、已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
6
销量y（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
14.6
15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（）

A、销量的极差为3.6 B、销量的60%分位数是13.2 C、销量的平均数与中位数相等 D、若销量关于月份的回归方程为 $y = 0.7 x + b$ ，则 $b = 11.05$

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12、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（）项

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、已知过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则θ的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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14、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 8 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $4 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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15、设两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O A}$ 方向逆时针旋转到 $\vec{O B}$ 方向所成的角为 $θ$ .定义伪叉积： $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| sin θ$ .规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 、 $λ \in R$ ，满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$ ， $(λ \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (λ \vec{b}) = λ (\vec{a} \times \vec{b})$ .

(1)、设 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，计算 $\vec{a} \times \vec{b}$ 和 $\vec{b} \times \vec{a}$ ；

(2)、设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，求证： $\vec{a} \times \vec{b} = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ ；

(3)、设四边形 $A B C D$ 有外接圆，圆心为 $O$ ，半径为 $2$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相互垂直且交点为 $E$ ， $O E = 1$ ， $A B$ 、 $C D$ 交于 $F$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $A C$ 、 $B D$ 的中点，求三角形 $F M N$ 的面积的最大值.

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16、如图，三棱锥 $P - A B C$ 各棱长均为 $1$ ，侧棱上的 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 满足 $P D = D A$ ， $\frac{B E}{B P} = \frac{P F}{P C} = λ$ ，线段 $B C$ 上的点 $G$ 满足 $A G //$ 平面 $D E F$ .

(1)、 $Q$ 在 $P C$ 上， $A Q // D F$ ，求证：平面 $A G Q //$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $G C = 2 B G$ ，且 $λ \neq \frac{1}{2}$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、求三棱锥 $G - D E F$ 体积的最大值.

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17、在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形 $A B C D$ 区域中，将三角形 $A B D$ 区域设立成花卉观赏区，三角形 $B C D$ 区域设立成烧烤区，边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 修建观赏步道，边 $B D$ 修建隔离防护栏，其中 $C D : B C = 1 : 2$ ， $B D = 100$ 米， $∠ A = \frac{π}{3}$ .

(1)、要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大， $A D$ 、 $A B$ 的长度分别是多少？

(2)、求烧烤区占地面积的最大值.

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18、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $b sin B - a sin A = c (sin C + sin A)$ ， $\vec{A D} = t \vec{A C}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $B D ⊥ A E$ ，求 $t$ 的值.

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的大小；

(2)、若向量 $\vec{c} = (x, y)$ 满足 $\vec{c} = - y \vec{a} + (1 - x) \vec{b}$ ，求 $|\vec{c}|$ 的值.

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20、复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $|z_{1} - 1| = |\bar{z_{1}} + i|$ ， $|z_{2} - 2| = 1$ ，则 $|z_{1} - z_{2}|$ 的最小值为.

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月份x	1	2	3	4	5	6
销量y（万辆）	11.7	12.4	13.8	13.2	14.6	15.3