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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为凸四边形，且 $P D = A D = C D = 4$ ， $P A = P C = A C = 4 \sqrt{2}$ ， $A B = B C$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、已知平面 $A P C$ 与平面 $B P C$ 夹角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{57}}{57}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + e^{x - 1} + m x - 3$ ，若当 $x \in (1, 2)$ 时，函数 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $m$ 的取值范围是．

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3、 $3^{20}$ 被10除的余数为.

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过焦点 $F$ 且不与 $x$ 轴垂直的直线与抛物线 $C$ 相交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，过原点 $O$ 作直线 $A B$ 的平行线与抛物线 $C$ 交于另一点 $P$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、线段 $O P$ 的中点和线段 $A B$ 的中点的连线与 $x$ 轴平行 C、以点 $O, P, A, B$ 为顶点的四边形可能为等腰梯形 D、 $|O P| = |x_{2} - x_{1}|$

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5、已知随机变量 $X \sim N (90, 900), Y \sim N (100, 400)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E (X) < E (Y)$ B、 $E (2 X - 10) = 170$ C、 $D (2 Y + 10) = 800$ D、 $P (X > 120) + P (Y < 120) = 1$

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6、已知a， $b \in R$ 且 $b \neq 0$ ， $\frac{a}{b} \neq - 1$ ， $\sin α = \frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}$ B、 $tan (\frac{π}{4} + α)$ C、 $\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}$ D、 ${tan}^{2} (\frac{π}{4} + \frac{α}{2})$

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7、在锐角 $△ A B C$ 中，记角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，且 $\sin A - \sin (B - C) = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、半径为4的实心球 $O_{1}$ 与半径为2的实心球 $O_{2}$ 体积之差的绝对值为（）

A、 $\frac{224}{3} π$ B、 $76 π$ C、 $75 π$ D、 $\frac{215}{3} π$

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9、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{3 m} = 1 (m > 0)$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 3\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}, x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- \sqrt{3}, 2]$ B、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ C、 $(0, 2]$ D、 $(0, \sqrt{3}]$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A D C = 45^{\circ}, A D = A C = 1$ ， $O$ 为 $A C$ 中点，PO⊥平面 $A B C D$ ， $P O = 2$ ， $M$ 为 $P D$ 中点.

(1)、证明： $P B$ $/ /$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, 1), \vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \overset{⇀}{v} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ，

(1)、若 $\vec{u} // \vec{v}$ ，求实数x的值．

(2)、若 $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ ，求实数x的值．

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13、三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $∠ A B C = 90 °$ ， $P A = A B = B C = 6$ ，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为.

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14、如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在 $A$ 处观测灯塔 $C$ 在北偏东 $45 °$ 方向，行驶2h后，船到达 $B$ 处，观测个灯塔 $C$ 在北偏东 $15 °$ 方向，此时船与灯塔 $C$ 的距离为km.

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15、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $B D_{1}$ 与 $C E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- \frac{1}{10}, \frac{3}{10})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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17、已知圆台 $O_{1} O$ 的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $20 π$ C、 $24 π$ D、 $32 π$

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18、已知i为虚数单位，则 $(2 + 3 i) (4 - i) =$ （）

A、 $10 i$ B、 $11 + 10 i$ C、 $11 i$ D、 $10 + 11 i$

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19、每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（）

A、两条直线确定一个平面 B、三点确定一个平面 C、不共线三点确定一个平面 D、两条平行直线确定一个平面

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20、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2\}$ ， $B = \{x ∣ x (x - 1) = 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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