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相关试卷

1、设点集 $D$ 是集合 $M = \{(x, y) |x, y \in R\}$ 的一个非空子集，若按照某种对应法则 $f$ ， $D$ 中的每一点 $(x, y)$ 都有唯一的实数 $t$ 与之对应，则称 $f$ 为 $D$ 上的二元函数，记为 $t = f (x, y)$ .当二元函数 $f (x, y)$ 满足对任意 $x, y, z \in R$ ，均有：① $f (x, y) = f (y, x)$ ；② $f (x, x) = 0$ ；③ $f (x, z) + f (z, y) \geq f (x, y)$ 成立，则称二元函数 $f (x, y)$ 具有性质 $P$ .

(1)、试判断二元函数 $f (x, y) = |x - y|$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、若 $f (x, y)$ 具有性质 $P$ ，证明：函数 $g (x, y) = \sqrt{f (x, y)}$ 具有性质 $P$ ；

(3)、对任意具有性质 $P$ 的函数 $f (x, y)$ ，均可推出 $F (x, y) = \frac{f (x, y)}{m + \sqrt{f (x, y)}}$ 具有性质 $P$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = a (x + 1) + \frac{1}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性（无需证明）；

(2)、若 $a < 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (|x - 2|) > f (x^{2})$ ；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (3^{x} + 1) = 1$ 有两个不同的解，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = a sin (2 x - \frac{π}{6}) + b (a > 0, b \in R)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[0, 3]$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [0, \frac{π}{6}]$ ，存在 $x_{2} \in [\frac{π}{2}, m]$ 使得 $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (- x^{2} + a x - 3) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求函数 $f (x)$ 的定义域及值域；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(1, 3)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 是第二象限角，且终边与单位圆交于点 $P (m, \frac{4}{5})$ .

(1)、求实数 $m$ 及 $tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{cos (- α) + cos (\frac{3}{2} π - α)}{sin (π - α) + sin (\frac{π}{2} + α)}$ 的值.

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin x, x \leq 0 \\ x^{2} - 2 x + 2 a + 5, x > 0 \end{array}$ 在 $(a, + \infty)$ 上有4个不同零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、玉璜，是一种佩戴饰物.在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被《周礼》
一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰.现有一弧形玉璜呈扇环形，已知 $A D = 4$ ，弧 $A B$ 长为 $2 π$ ，弧 $C D$ 长为 $π$ ，此玉璜的面积为.

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8、若 $ln ({log}_{2} m) = 0$ ，则 $m =$ .

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9、已知正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $\{\begin{array}{l} x^{4} = 1 + x \\ y^{8} = 3 x + y \end{array}$ ，则（）

A、 $y > 1$ B、 $x < \frac{5}{4}$ C、 $y^{2} < \sqrt{2}$ D、 $y < x$

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10、已知函数 $f (x) = sin (cos x) - cos (sin x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 图象有对称轴 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (1) < 0$

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11、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2^{a} \cdot 2^{b} = 16$ B、 $\sqrt{a b} \leq 2$ C、 ${log}_{2} a + {log}_{2} b \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（）

A、 $g (g (1)) > g (g (2))$ B、 $g (f (1)) < g (f (2))$ C、 $f (g (1)) > f (g (2))$ D、 $f (f (1)) > f (f (2))$

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13、已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} - 1}$ 图象的对称中心是（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(2, \frac{1}{3})$ C、 $(0, - \frac{1}{2})$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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14、已知函数 $f (x) = 2^{x} + x - 1$ ， $g (x) = {log}_{2} x + x - 1$ ， $h (x) = x^{3} + x - 1$ 的零点分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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15、函数 $f (x) = {(x + 1)}^{2} (x - 2)$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、下列不等关系成立的是（）

A、 $3^{- 0.3} > 2^{0.1}$ B、 ${log}_{2} 3 > {log}_{3} 2$ C、 $sin \frac{π}{3} > tan \frac{π}{4}$ D、 $cos \frac{π}{2} > cos (- \frac{π}{3})$

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17、“ $x > 0$ ”是“ $e^{x} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则 $f (9) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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19、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{0, 2, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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20、设 $a$ ， $b \in N^{*}$ ，定义： $(a, b)$ 为 $a$ ， $b$ 的最大公约数， $[a, b]$ 为 $a$ ， $b$ 的最小公倍数，且具有以下性质：① $(a, b) \cdot [a, b] = a b$ ；②当 $b > a$ 时， $(a, b) \leq b - a$ .

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 2^{n + 1}$ ， $b_{n} = 8 n + 4$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，令 $c_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知有限数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \in N^{*}$ ，且 $1 < a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdot \cdot \cdot < a_{n} < t$ （ $t$ 为给定常数）.若对 $\forall i \in N^{*}$ ，且 $1 \leq i \leq n - 1$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ）时，都有 $[a_{i}, a_{i + 1}] \leq t$ .
（ⅰ）当 $a_{n} \geq 2 a_{n - 1}$ 时，证明： $t > 2 n$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{[a_{1}, a_{2}]} + \frac{1}{[a_{2}, a_{3}]} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{[a_{n - 1}, a_{n}]} < \frac{1}{2}$ .

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