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相关试卷

1、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D .$ 四边形 $A D E F$ 为正方形，四边形 $A B C D$ 为梯形，且 $A D / / B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $B C = 3.$ 点 $M$ 满足 $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B D}$ ．

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $A F M$ ；

(2)、求直线 $B F$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值．

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2、已知椭圆 $C_{1} :$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $C_{2} :$ $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点是椭圆的顶点．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、过点 $M (- 1, 0)$ 作抛物线的切线 $l$ ，求切线 $l$ 的方程．

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3、甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是 $\frac{3}{5}$ ，乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，至少得15分才能入选.
（1）求乙得分的分布列和数学期望；
（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

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4、已知函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3 x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, 6]$ 上的最值．

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5、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6, \frac{1}{6})$ ， $Y = 3 X + 1$ ，则 $E (Y) =$ ．

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6、 ${(2 x - 1)}^{5}$ 的二项展开式中 $x^{4}$ 的系数为.

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7、若 $1, a, b, c, 16$ 成等比数列，则（）

A、 $a = 2$ B、 $b = 4$ C、 $c = 8$ D、 $a c = 16$

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8、下列结论正确的是（）

A、若 $C_{17}^{x} = C_{17}^{2 x - 1}$ ，则正整数 $x$ 的值是 $1$ B、 $3 \times 4 \times 5 \times 6 = A_{6}^{4}$ C、 $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = C_{7}^{3}$ D、 $C_{8}^{1} + C_{8}^{2} + C_{8}^{3} + C_{8}^{4} + C_{8}^{5} + C_{8}^{6} + C_{8}^{7} = 256$

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9、将一枚质地均匀的硬币重复抛掷 $10$ 次，则正面朝上出现的频率在 $[0.4, 0.6]$ 内的概率是（）

A、 $\frac{11}{32}$ B、 $\frac{17}{32}$ C、 $\frac{21}{32}$ D、 $\frac{23}{32}$

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10、在某市 $2019$ 年 $1$ 月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布 $N （ 98 ， 100 ） .$ 已知参加本次考试的全市理科生约有 $9450$ 人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是 $108$ 分，那么他的数学成绩大约排在全市第（） $（$ 参考数值： $P （ μ - σ < X \leq μ + σ ） = 0.683$ ； $P （ μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ ） = 0.954$ ， $P （ μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ ） = 0.997 ）$

A、 $1498$ 名 B、 $1700$ 名 C、 $4500$ 名 D、 $8000$ 名

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11、已知命题 $p : a > b$ ，命题 $q : a c^{2} > b c^{2}$ ，则命题 $p$ 是命题 $q$ 的（）条件

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、曲线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 在点 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、复数 $i^{3} {(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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14、如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $3 k_{1} = 2 k_{2}$ ，则椭圆的离心率为．

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15、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 3, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, - m, - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、-2 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, a + 2]$ 上具有单调性，则实数a的取值范围是.

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17、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AB⊥AC， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ，点E，F分别为棱AB、 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求直线 $C_{1} E$ 与直线AF的夹角的余弦值；

(2)、求点F到平面 $B_{1} C_{1} E$ 的距离．

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18、 $DeepSeek$ 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用 $DeepSeek$ 的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计该校学生当日使用 $DeepSeek$ 的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、若使用时间不小于2小时的用户称为“ $DeepSeek$ 资深用户”，其中使用时间在 $[2, 2.5)$ 内的用户称为“青铜用户”，使用时间在 $[2.5, 3)$ 内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解 $DeepSeek$ 对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“ $DeepSeek$ 资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率.

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19、已知数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - n, n \in N$ .
(1)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(2)若 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2 {log}_{2} a_{n} + 3, b_{1} = 3, b_{6} = 13$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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