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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，求证： $f (x) \geq - 3 x - 2$ .

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2、已知函数 $f (x) = e^{k x} + 1$ ， $g (x) = (1 + \frac{1}{x}) \ln x$ .若 $k f (x) \geq g (x)$ ，则k的取值范围为.

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3、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π ，$ 则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为.

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4、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1)$ 与 $f^{'} (x)$ 均为偶函数，且 $f (- 1) + f (1) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (1) = 0$ B、4是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2024) = 0$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称

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5、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的有（）

A、 $y = x^{\frac{2}{3}}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = 2^{|x|}$ D、 $y = |x^{2} - 1|$

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6、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + y = 2$ ，则 $\frac{x y}{x^{2} + 2 y}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、1 D、 $\frac{1}{4}$

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7、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (2 - x) > f (x + 4)$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, 1)$

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8、已知 $x = \log_{3} 2, y = \log_{13} 2, z = e^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $z > x > y$ B、 $z > y > x$ C、 $x > y > z$ D、 $x > z > y$

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9、集合 $A = \{x |\frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 8\}$ ， $B = \{x |\log_{2} (x - a) > 1\}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则a的取值范围为（）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $(- 4, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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10、命题“ $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是偶函数”的否定形式是（）

A、 $\forall a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是奇函数 B、 $\forall a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 不是偶函数 C、 $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是奇函数 D、 $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 不是偶函数

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11、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $q$ 为 $\{a_{n}\}$ 的公比， $q > 0 .$ 若 $S_{3} = 7, a_{3} = 1$ ，则（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、 $a_{5} = \frac{1}{9}$ C、 $S_{5} = 8$ D、 $a_{n} + S_{n} = 8$

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12、已知双曲线C的虚轴长是实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、已知函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = a x + 1$ ．

(1)、讨论函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\forall x \in R, f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $x ln x + x cos x + 1 < f (x)$ ．

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14、如图，椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ．设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$ 与直线 $B F_{2}$ 平行， $A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|B F_{2}|}$ 是定值；

(3)、求三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的周长．

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形． $A B =$ $A_{1} A = A_{1} B = 4$ ，且 $cos ∠ A_{1} A C = \frac{1}{4}, O$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ A_{1} O$ ；

(2)、点 $P$ 是线段 $A_{1} O$ 上一点，求使得二面角 $P - B C - C_{1}$ 的正弦值不小于 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ 的点 $P$ 形成的轨迹长度．

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16、已知 $△ A B C$ ，其内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{1}{\sin A} = \frac{2 \cos B}{2 \sin C + \sin B}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的中点，求 $A D$ 的长．

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17、在5道数学试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.

(1)、如果从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；

(2)、如果从中抽3道题，记 $X$ 表示抽到代数题的道数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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18、函数 $f (x) = \frac{ln (e^{2 x} + 1)}{x}$ 在区间 $[- e, - 1] \cup [1, e]$ 上的最大值为 $a$ ，最小值为 $b$ ，则 $a + b =$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} + 1, x \leq 0 \\ |{log}_{2} x| - 1, x > 0 \end{array}$ ，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ B、方程 $f (x) = 2$ 有两个不等的实数解 C、不等式 $f (f (x)) > 0$ 的解集为 $(0, \frac{1}{8}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{4}, 2 \sqrt{2}) \cup (8, + \infty)$ D、关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 f (x) = 1 - a^{2}$ 的解的个数可能为 $2, 4, 5$

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20、设正实数x，y满足 $x + y = 2$ ，则（）

A、 $x y$ 有最大值为1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 有最小值为4 C、 $\frac{4 y}{x} + \frac{2}{y}$ 有最小值为5 D、 $\sqrt{x + 3} + \sqrt{y + 4}$ 有最大值为 $3 \sqrt{2}$

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