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相关试卷

1、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $120^{\circ}$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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2、设 $l$ 、 $m$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l // α$ 、 $m // l$ ，则 $m // α$ B、若 $l ⊥ α$ 、 $l // β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l // α$ 、 $m \subset α$ ，则 $l // m$ D、若 $α ⊥ β$ 、 $m // α$ ，则 $m ⊥ β$

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3、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、 $a > b \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ B、 $a > b \Rightarrow a^{3} > b^{3}$ C、 $|a| > b \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ D、 $a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$

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4、下列各向量运算的结果与 $\vec{A C}$ 相等的是（）

A、 $\vec{O A} - \vec{O C}$ B、 $\vec{A O} - \vec{O C}$ C、 $\vec{A O} + \vec{O C}$ D、 $\vec{O A} + \vec{O C}$

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5、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $A = \{1, 2, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 3, 6\}$ ，则 $C_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{4\}$ B、 $ϕ$ C、 $\{1, 2, 3, 5, 6\}$ D、 $\{2, 4, 5, 6\}$

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} + \cos x - 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 零点个数；

(3)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，函数 $f (x) > a x - \sin x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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7、已知函数 $f (x) = a \ln x - (a + 1) x + \frac{1}{2} x^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性：

(2)、当 $a = 1$ 时， $h (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{1}{x}$ ，数列 $\{t_{n}\}$ 满足 $t_{1} \in (0, 1)$ ，且 $t_{n + 1} = h (t_{n}) (n \in N^{*})$ ，比较 $t_{n + 1}$ ， $t_{n + 2}$ ， $1$ 的大小 $(n \in N^{*})$ ．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x} - a x$ .
（1）当 $a = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上是减函数，求 $a$ 的最小值；
（3）证明：当 $x > 0$ 时， $\ln x > \frac{1}{e^{x}} - \frac{3}{4 x^{2}}$ .

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9、（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球．
①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率．
②求第二次才取到红球的概率．
（2）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为 $6 %$ ，第2台车床加工的零件次品率为 $5 %$ ，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为 $2 : 3$ ，从这些零件中任取一个，求这个零件是次品的概率．

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10、若 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中 $x$ 的系数为.

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11、已知函数 $f (x) = a^{x} - x^{a} (x > 0, a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，则（）

A、当 $a = e$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立 B、当 $0 < a < 1$ 时， $f (x)$ 有且仅有1个零点 C、当 $a > e$ 时， $f (x)$ 没有零点 D、存在 $a > 1$ ，使得 $f (x)$ 存在三个极值点

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12、下列结论错误的是（）

A、若 $C_{10}^{m} = C_{10}^{3 m - 2}$ ，则 $m = 3$ B、 ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数是30 C、在 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{11}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是220 D、 ${(x - 2)}^{7}$ 的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大

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13、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + 4 x (a > 0)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{16}{3}]$ B、 $(- \infty, \frac{16}{3} \sqrt{2}]$ C、 $(- \infty, \frac{16}{3})$ D、 $(- \infty, \frac{16}{3} \sqrt{2})$

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14、函数 $f (x)$ 是定义在区间 $(0, + \infty)$ 上的可导函数，其导函数为 $f' (x)$ ，且满足 $f' (x) + \frac{2}{x} f (x) > 0$ ，则不等式 $\frac{(x + 2018) f (x + 2018)}{3} < \frac{3 f (3)}{x + 2018}$ 的解集为

A、 ${x | x > - 2015}$ B、 ${x | x < - 2015}$ C、 ${x | - 2018 < x < 0}$ D、 ${x | - 2018 < x < - 2015}$

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15、将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（）

A、720种 B、420种 C、120种 D、15种

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16、已知 $P (A) = 0.8$ ， $P (B| A) = 0.5$ ， $P (B| \bar{A}) = 0.5$ ，则下列选项中不正确的是（）

A、 $P (B) = 0.5$ B、 $P (A| B) = 0.8$ C、 $P (\bar{A}| B) = 0.5$ D、A与B独立

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17、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（）

A、250个 B、249个 C、48个 D、24个

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18、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b$ 的图像开口向下， $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x} = 4$ ，则 $a =$

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、2 D、-2

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19、1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设 $O x$ 、 $O y$ 是平面内相交成 $α (0 < α < π)$ 的两条射线， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别为 $O x$ 、 $O y$ 同向的单位向量，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系，在 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ .

(1)、在 $x O y_{(\frac{3 π}{4})}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1)$ ，求 $|\vec{a}|$ ；

(2)、在 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\sin α$ ；

(3)、如图所示，在 $x O y_{(\frac{π}{3})}$ 仿射坐标系中， $B$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴上， $|\vec{B C}| = 1$ ， $\vec{O D} = \frac{7}{19} \vec{O C}$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $B D$ 、 $B C$ 中点，求 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的最大值.

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20、已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{3}{5}$ 的零点为 $x_{0}$ ，求 $cos (\frac{π}{6} - 2 x_{0})$ ．

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