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1、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (k x) = k f (x)$ ， $(k \geq 2, k \in N^{*})$ 成立，则称 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数.

(1)、若函数 $f (x)$ 为2阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 2]$ 时， $f (x) = x^{3} + {log}_{\frac{1}{2}} x$ ，求 $f (2 \sqrt{2})$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 为3阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 3]$ 时， $f (x) = \sqrt{3 x - x^{2}}$ 求证：函数 $y = f (x) - \sqrt{2} x$ 在 $(1, + \infty)$ 上无零点；

(3)、若函数 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数，且当 $x \in (1, k]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是 $[0, 1)$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, k^{n + 1}] (n \in N^{*})$ 上的取值范围.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $P D$ ， $P C$ 的中点.

(1)、若 $A D = P A$ ，求证： $A F ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、若二面角 $P - E C - D$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ ，且 $A D = \sqrt{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $E G$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值.

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3、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b \sin A = - \sqrt{3} a \cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ， $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $B D = 1$ ， $A D = 2 C D$ ，求 $a$ .

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4、如图所示，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是棱长为2的菱形， $∠ A D C = 120^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $D D_{1}$ 中点.

(1)、求证： $B D_{1} //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求证： $B D_{1} ⊥ A C$ ；

(3)、求三棱锥 $E - B C B_{1}$ 的体积.

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5、已知 $\vec{a} = (4, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 及 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 共线，求 $k$ .

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6、锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $(4 a^{2} - 2 \sqrt{3} a c) cos B =$ $\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，且 $a = 1$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围为

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7、已知函数 $f (x)$ 对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 3) + f (x) = 0$ ， $y = f (x)$ 的图象关于原点对称，且 $f (4) = - 2$ ，则 $f (278) =$

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8、水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图如图所示，已知 $A^{'} C^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 外接圆半径是 $R$ ，内切圆半径是 $r$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 $(a + b) : (b + c) : (c + a) = 5 : 6 : 7$ ，则 $\frac{R}{r} = \frac{16}{5}$ D、若 $tan A + tan B + tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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10、函数 $f (x) = sin x (sin x + cos x) - \frac{1}{2}$ ，若 $f (x_{0}) = \frac{3 \sqrt{2}}{10}$ ， $x_{0} \in (0, \frac{π}{3})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} sin (2 x - \frac{π}{4})$ B、直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的最小值为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $cos 2 x_{0} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

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11、已知复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $i$ B、 $\bar{z} = - 1 - i$ C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限

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12、已知四棱锥 $S - A B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B // C D$ 且满足 $A B = 2 A D = 2 D C = 2$ ， $∠ A D C = 120^{\circ}$ ， $S C = \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的体积是（）

A、 $\frac{8}{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $8 \sqrt{2} π$ D、 $8 π$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 1, x \leq 0 \\ - 2 x, x > 0 \end{array}$ ，则不等式 $2 f (x) + x - 2 > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |x < - \frac{1}{2}\}$ B、 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 0\}$ C、 $\{x |x < - \frac{1}{2} 或 x > 0\}$ D、 $\{x |x < - \frac{2}{3} 或 x > 0\}$

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14、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $120^{\circ}$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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15、设 $l$ 、 $m$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l // α$ 、 $m // l$ ，则 $m // α$ B、若 $l ⊥ α$ 、 $l // β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l // α$ 、 $m \subset α$ ，则 $l // m$ D、若 $α ⊥ β$ 、 $m // α$ ，则 $m ⊥ β$

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16、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、 $a > b \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ B、 $a > b \Rightarrow a^{3} > b^{3}$ C、 $|a| > b \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ D、 $a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$

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17、下列各向量运算的结果与 $\vec{A C}$ 相等的是（）

A、 $\vec{O A} - \vec{O C}$ B、 $\vec{A O} - \vec{O C}$ C、 $\vec{A O} + \vec{O C}$ D、 $\vec{O A} + \vec{O C}$

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18、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $A = \{1, 2, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 3, 6\}$ ，则 $C_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{4\}$ B、 $ϕ$ C、 $\{1, 2, 3, 5, 6\}$ D、 $\{2, 4, 5, 6\}$

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} + \cos x - 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 零点个数；

(3)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，函数 $f (x) > a x - \sin x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = a \ln x - (a + 1) x + \frac{1}{2} x^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性：

(2)、当 $a = 1$ 时， $h (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{1}{x}$ ，数列 $\{t_{n}\}$ 满足 $t_{1} \in (0, 1)$ ，且 $t_{n + 1} = h (t_{n}) (n \in N^{*})$ ，比较 $t_{n + 1}$ ， $t_{n + 2}$ ， $1$ 的大小 $(n \in N^{*})$ ．

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