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相关试卷

1、设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $z - \bar{z} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2、 $△ A B C$ 为锐角三角形，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $D$ 为 $A C$ 上一点，且 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $2 \cos B (a \cos C + c \cos A) = b$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围；

(3)、若 $b = \sqrt{3}$ ，求 $|\vec{O B} + 3 \vec{O D}|$ 的取值范围.

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3、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E$ //平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A A_{1} = 2$ ，求三棱锥 $E - A B_{1} C_{1}$ 的体积．

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4、一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ ，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件 $A$ ：“第一次取出的球的号码大于3”，事件 $B$ ：“两次取出的球的号码之和为偶数”.

(1)、求事件 $A$ 的概率；

(2)、判断事件 $A$ 与事件 $B$ 是否相互独立，并说明理由.

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ .

(1)、若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ，求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角.

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，且 $B D = 1$ ，则 $9 a + c$ 的最小值为．

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7、一台机床生产一种零件，10天中生产的次品数为： $0, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 1, 2, 4$ ，则这10天生产次品数的方差是.

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8、圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，则其体积是原来的倍.

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9、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是棱 $B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点，P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点，则下列结论正确的是（）

A、若 $D P //$ 平面CEF，则点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $A P = \sqrt{17}$ ，则点P的轨迹长度为 $2 π$ C、若P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，Q在线段EF上，则 $P Q + C Q$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ D、若P是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，三棱锥 $P - C E F$ 的外接球球心为O，则平面 $A_{1} B C D_{1}$ 截球O所得截面的面积为 $\frac{81 π}{8}$

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10、已知函数 $f (x) = \tan (2 x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{5π}{12}, 0)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5π}{12}, \frac{π}{12})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，解析式为 $y = \tan (2 x + \frac{π}{3})$

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11、某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去60天苹果的日销售量（单位：kg）绘制了频率分布直方图（同一组数据用区间中点值作代表），则下列选项正确的有（）

A、直方图中的 $a = 0.025$ B、过去60天苹果日销售量的平均数估计值为52kg C、过去60天苹果日销售量的众数估计值为50kg D、过去60天苹果日销售量的中位数估计值为55kg

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $A C$ $, B C$ 边上的两条中线 $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ，则 $∠ M P N$ 的正切值是（）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{15}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$

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13、从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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14、已知 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l / / m$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $α / / β$ B、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $l / / m$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} e^{x} ， & x \geq 0 \\ ln [f (x + 2)] ， & x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (- \frac{1}{4}) - f (ln 2) =$ （）

A、 $- \frac{17}{4}$ B、 $\frac{17}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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16、已知 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (m, - 6)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $9$ D、 $- 9$

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17、 $\cos 75^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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18、已知复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- i$ D、 $i$

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19、设 $A = \{3, 5, 6, 8\}$ ， $B = \{4, 5, 7, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{8\}$ C、 $\{5, 8\}$ D、 $\{3, 5, 8\}$

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20、在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为 $p$ ，输的概率为 $1 - p$ ，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为 $ξ$ ，那么 $ξ$ 服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；

(2)、记“ $2 n - 1$ 局 $n$ 胜”( $n \in ℕ^{*}$ )制游戏中甲获得最终胜利的概率为 $p_{1}$ ， “ $2 n + 1$ 局 $n + 1$ 胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为 $p_{2}$ ，证明： $p_{1} - p_{2} = C_{2 n - 1}^{n} p^{n} {(1 - p)}^{n}$ ；

(3)、教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有 $n + 1$ 支，黄粉笔有 $n - 1$ 支( $n \in ℕ^{*}$ 且 $n \geq 2$ )，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为 $a_{n}$ ，证明： $a_{n} > \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2 n}}$ .

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