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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x, - 1), \vec{b} = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{2}{3} π]$ 上的值域．

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2、对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：
寿命 $/h$
$[100, 200)$
$[200, 300)$
$[300, 400)$
$[400, 500)$
$[500, 600]$
个数
20
30
80
40
30

(1)、估计元件的寿命在 $[300, 400)$ （单位：h）内的概率；

(2)、估计元件的寿命在 $400h$ 以上的概率．

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3、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $|\vec{a}| = 4$ .对于任意的 $λ \in R$ ， $|\vec{a} + λ \vec{b}| \geq |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 恒成立，则 $|\vec{b}| =$ ， $|x \vec{a} - \vec{b}| + |x \vec{a} - 3 \vec{b}| (x \in R)$ 的最小值为.

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4、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为2，那么数据 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \dots, 2 x_{10} + 3$ 的平均数为．

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5、在斜三角形 $A B C$ 中， $\cos A = \sin B$ ，则（）

A、角B为钝角 B、 $\sin A = \cos B$ C、若 $b = 1$ ，则 $a = \tan A$ D、 $\cos A + \cos B + \cos C$ 的最大值为 $\frac{5}{4}$

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6、已知 $A C$ 为圆锥 $P O$ 底面圆的直径，母线 $P A$ 与圆锥底面所成角为 $\frac{π}{6}$ ，母线 $P A$ ， $P B$ 互相垂直， $P A = 2$ ，则（）

A、圆锥的侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ B、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$ C、二面角 $P - A B - O$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、圆锥的外接球体积为 $\frac{32}{3} π$

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7、下列选项中，正确的是（）

A、若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B、若向量 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ D、若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 共线，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线

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8、已知m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α ∥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ∥ β$ B、若 $α ∥ β$ ， $n \subset α$ ，则 $n ∥ β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$

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9、函数 $f (x) = x^{3}$ 的奇偶性为（）

A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数

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10、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上的最值.

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $a = \sqrt{3}, b = 1, c = \sqrt{7}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、求 $\sin (A + C)$ 的值．

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12、如图， $△ A O D$ 与 $△ B O C$ 存在对顶角 $∠ A O D = ∠ B O C = \frac{π}{4}$ ， $A C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ 且 $B C = A D$ ，（1）则 $O D$ 的长 $O D =$ ；（2）若 $\sqrt{5} \sin 2 A + \cos B = \sqrt{5}$ ，则 $O C$ 的长 $O C =$ .

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13、在 $▱ A B C D$ 中，若 $\vec{A D} = (2, 8)$ ， $\vec{A B} = (- 3, 4)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 的坐标为 $\vec{A C} =$ .

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14、函数 $f (x) = 5 tan (2 x - \frac{π}{4})$ 的最小正周期是.

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15、《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ ，求面积的公式，这与古希腊的海伦面积公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ .现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = 6 \sqrt{3}$ ，请运用上述公式判断下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ B、 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $2 C = A + B$ C、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $△ A B C$ 的中线 $C D$ 的长为 $\sqrt{19}$

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16、下列说法正确的是（）

A、 $\cos^{2} 15 ° - \sin^{2} 15 ° = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °} = \sqrt{3}$ C、向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{b}$

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17、当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = \sin x$ 与 $y = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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18、已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ， $\vec{c} = 2027 \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c} =$ （）

A、2027 B、2028 C、2037 D、2038

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19、函数 $y = 1 - \sin x$ 的最大值为（）

A、1 B、0 C、2 D、 $- 1$

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20、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A C = A D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{3 π}{4}$ ，如图2，把 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，使点 $D$ 到达点 $P$ 处，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Q$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ B Q$ ；

(2)、求二面角 $A - B Q - P$ 的余弦值；

(3)、判断线段 $A P$ 上是否存在点 $M$ ，使得三棱锥 $M - A B Q$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ ．若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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寿命 $/h$	$[100, 200)$	$[200, 300)$	$[300, 400)$	$[400, 500)$	$[500, 600]$
个数	20	30	80	40	30