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相关试卷

1、如图，三棱锥 $P - A B C$ 的底面是边长为2的正三角形ABC，且 $P A = P B$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $P A C .$

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A B C;$

(2)、若BC与平面 $P A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{8}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值.

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 3.$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 的相邻项 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1} (k \in N^{*})$ 之间插入k个相同的数 ${(- 1)}^{k}$ ，使其与原数列构成新数列 $\{b_{n}\}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，求 $T_{40} .$

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3、设 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 10, x \leq 2 \\ \log_{a} x, x > 2 \end{array}$ 的值域为 $[2, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A, M$ 为抛物线上的点，且满足 $|O M| = |O F|$ ，过 $M$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $N, A M$ 与 $N F$ 交于点 $Q$ ，则（）

A、直线 $N F$ 的斜率为定值 B、 $tan ∠ M F A = 2 tan ∠ N F A$ C、 $cos ∠ M F A = \frac{|M Q|}{|A Q|}$ D、 $\frac{|N Q|}{|Q F|} = \frac{|A N|}{|A M|}$

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5、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意实数x，y有 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 4 x y$ ，且 $f (1) = 2$ ， $f^{'} (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 2$ B、 $f (- 2) = 8$ C、 $f^{'} (1) = 4$ D、 $\sum_{i = 1}^{20} f^{'} (i) = 840$

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6、已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f^{'} (- \frac{3 π}{16}) = 0$ C、 $f (- \frac{π}{8}) = f (- \frac{π}{4})$ D、 $f (- \frac{3 π}{16}) < f (- \frac{π}{16})$

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7、锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，角A的平分线交BC于点D，若 $b + 2 a cos B = 2 c$ ，且 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 3.$ 则下列结论中错误的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $A D = \frac{6 \sqrt{3}}{5}$ C、 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $c = 1$

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，一条渐近线被以 $F$ 为圆心， $2 a$ 为半径的圆截得的弦长为 $2 \sqrt{3} a$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9、在平面四边形ABCD中，若 $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ ，且 $A B = 1$ ， $A D = 3$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $- 8$ B、8 C、10 D、3

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10、已知 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $sin (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $tan α = 3 tan β$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11、已知函数 $f (x) = 2^{x} + m \cdot 2^{- x} (m \in R)$ 是奇函数，则下列关系中正确的是（）

A、 $f (1) < f (2)$ B、 $f (1) > f (2)$ C、 $f (2) = 2 f (1)$ D、 $f (2) = \frac{3}{2} + f (1)$

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12、 $i$ 为虚数单位， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，若 $z = \frac{1 + 2 i}{2 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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13、已知集合 $A = {x | \sqrt{x + 1} \leq 1}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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14、在同一平面直角坐标系内，函数 $y = f (x)$ 及其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 $(0, 1)$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最大值为1 B、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最小值为1 C、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最小值为1

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15、已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x |x| + y |y| = 1$ ，则 $|x + y - 4|$ 的取值范围是.

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16、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2 n} = a_{n}^{2}$ ，且 $a_{1} + a_{2} = \frac{3}{4}$ ，则公比为.

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17、已知A、B、C、D为平面四边形 $A B C D$ 的四个内角．

(1)、若 $A B = C D = 2$ ， $B C = A D = 1$ ，求 $A C^{2} + B D^{2}$ ；

(2)、如图，若 $A + C = 180^{°}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 3$ ， $C D = 4$ ， $A D = 5$ .
①证明： $\tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ ；
②求 $\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{D}{2}$ 的值．

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18、已知 $\tan α = 2$ .

(1)、求 $\frac{\sin α}{2 \sin α + \cos α}$ 的值；

(2)、求 $\cos (α + 3 π) \cos (α - \frac{π}{2}) + \cos^{2} α$ 的值.

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19、已知函数 $f (x) = 2 cos x$ ．

(1)、写出函数 $f (x)$ 的最小正周期以及单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上的最小值，并写出取得最小值时 $x$ 的值；

(3)、 $x \in [\frac{π}{3}, \frac{11 π}{6}]$ 时，函数 $g (x) = f (x) - m$ 有零点，求 $m$ 的取值范围．

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20、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 2$ ，求

(1)、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(2)、 $|\vec{a} + \vec{b}|$

(3)、设向量 $(\vec{a} + \vec{b})$ 与 $(\vec{a} - \vec{b})$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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