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相关试卷

1、在 ${(1 + x)}^{7}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数为（）．

A、84 B、42 C、21 D、7

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2、集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}, B = \{x | x^{2} + x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$

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3、如图，已知矩形钢板PABQ，AB=6米，AP长不限，现截取一块直角梯形模板EABN(E、N分别在AP、BQ上)，且满足腰AB 上存在点M，使得 $△ M B N ≅ △ M E N .$ 设 $∠ B N M = θ ， A M = t$ 米.

(1)、设 $t = f (θ) ，$ 求f(θ)的表达式：

(2)、当AM 的长为多少时，模板EABN的面积S最小，并求出这个最小值.

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4、设 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $\sqrt{3} a \sin C = c (1 + \cos A)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2, c = 3$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线且交 $B C$ 于点 $D$ ，求线段 $A D$ 的长.

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (4, 3), B (6, 8)$ ，点 $M$ 满足 $\vec{O M} = λ \vec{O B}, λ \in R$ ．

(1)、若 $A M ⊥ O B$ ，求 $λ$ ；

(2)、若 $(\vec{O M} + \vec{O A}) ∥ \vec{A B}$ ，求 $M$ 的坐标．

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6、设复数 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = 1 - m i$ $(m \in R)$ .

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 是实数，求 $\bar{z_{1} z_{2}}$ ；

(2)、在复平面内，复数 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.

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7、点O是△ABC所在平面内的一点，满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点O是 $Δ A B C$ 的心．

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8、已知i是虚数单位，则 $i + i^{3} + i^{5} + i^{7} =$

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9、已知圆O内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $A D = C D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ C、该外接圆的直径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\vec{B O} \cdot \vec{C D} = - 1$

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10、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、在四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形 C、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面内的一组基底，则 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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11、若非零向量 $\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C}$ 满足 $(\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}) \cdot \overset{⃑}{B C} = 0$ ，且 $\frac{\overset{⃑}{A B}}{| \overset{⃑}{A B} |} \cdot \frac{\overset{⃑}{A C}}{| \overset{⃑}{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、底边与腰不相等的等腰三角形 D、等边三角形

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12、设 $a = \frac{1}{2} \cos 6^{°} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6^{°}$ ， $b = \frac{2 \tan 13^{°}}{1 - \tan^{2} 13^{°}}$ ， $c = \sqrt{\frac{1 - \cos 50^{°}}{2}}$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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13、设 $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ ，则 $\sqrt{1 + \sin 2 x} + \sqrt{1 - \sin 2 x} =$ （）.

A、 $2 \sin x$ B、 $2 \cos x$ C、 $- 2 \sin x$ D、 $- 2 \cos x$

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14、 $\sin 45 ° \cos 15 ° + \cos 45 ° \cos 75 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、（用坐标法不给分）如图，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 向上翻折，得到四棱锥 $A_{1} - B C D E$ .

(1)、若 $A_{1} C = \sqrt{2}$ ，求异面直线 $A_{1} D$ 与 $B E$ 所成角的余弦值；

(2)、求证： $D E ⊥ A_{1} C$ ；

(3)、在翻折过程中，记二面角 $A_{1} - D E - C$ 的大小为 $θ$ ，求二面角 $A_{1} - C D - B$ 的最大值及此时 $θ$ 的值.

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16、乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 $10 : 10$ 平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为 $12 : 10$ ，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 $p$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球.

(1)、若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为 $\frac{4}{15}$ ，求 $p$ 的值；

(2)、若 $p$ 满足（1）中条件取值，记事件 $A =$ “两人又打了4个球该局比赛结束”，事件 $B =$ “两人又打了 $2 n (n \in N^{*})$ 个球该局比赛结束”.
（i）求 $P (A)$ ；
（ii）直接写出 $P (B)$ .

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17、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，且 $E$ 为 $A C$ 的中点. $∠ A B D = 45 °$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ， $A B = 6$ ， $B E = 2 D E$ .

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、求 $\cos ∠ A B C$ .

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，过点 $E$ 的直线分别与边 $A B$ ， $A C$ 交于点 $M$ ， $N$ （不含端点）.若 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C}$ ， $x, y > 0$ .

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ （请写出具体推理步骤）；

(2)、求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的值.

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19、（用坐标法不给分）如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $B D E$ 的距离.

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20、已知二面角 $α - l - β$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，棱 $l$ 上有两个不同的点 $A$ ， $B$ ， $A C \subset α$ ， $B D \subset β$ ， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，若 $A C = A B = B D = 1$ ，则直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值为.

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