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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = \frac{π}{2}$ B、若函数 $y = f (a x) (a > 0)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增，则 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 中心对称 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{2}{3}$ ，则 $\cos [\frac{π}{4} (x_{2} - x_{1})] = \frac{1}{3}$

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2、若 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $2 \vec{a}$

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3、任意复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 可以写成 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中r是复数z的模， $θ$ 是复数z的辐角（以x轴的非负半轴为始边，向量 $\vec{O Z}$ 所在射线为终边的角），我们称 $r (\cos θ + i \sin θ)$ 为复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 的三角形式.利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即 $z^{n} = r^{n} (\cos n θ + isin n θ)$ ， $(n \in Z)$ .已知复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ ，则 $z, z^{2}, z^{3}, \cdot \cdot \cdot, z^{2025}$ 中不同的数的个数为（）

A、6 B、12 C、24 D、36

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4、已知 $\frac{1 - \cos 2 θ + \sin 2 θ}{1 + \cos 2 θ + \sin 2 θ} = 3$ ，则 $\tan 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5、已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（）

A、 $9 \sqrt{3} π$ B、 $10 \sqrt{3} π$ C、 $15 π$ D、 $18 π$

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6、将函数 $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{12})$ B、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{12})$ C、 $f (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{24})$ D、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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7、已知复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + (m - 3) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $|1 + z|$ 为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{19}$

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8、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是同一平面内两个不共线的向量，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 的是（）

A、 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - \vec{e_{1}} + \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $b = 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$

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9、下列函数中，最小正周期为 $π$ 的奇函数是（）

A、 $y = 2 \sin x$ B、 $y = \sin 2 x$ C、 $y = \sin \frac{x}{2}$ D、 $y = |\sin x|$

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10、复数 $(2 - i) i$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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11、不等式 $\frac{x - 4}{x - 1} \geq 2$ 的解集是（）

A、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 1}$ B、 ${x ∣ x \leq - 2}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x ∣ x > 1}$

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12、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点P满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ （ $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ， $z \geq 0$ ），下列说法正确的是（）

A、当 $x = y = z = \frac{1}{3}$ 时， $A P ⊥ 面 A_{1} B D$ B、当 $x = 1$ ， $y = 1$ ， $z \in [0, 1]$ 时，则P到平面 $A_{1} B D$ 的距离的最小值是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、当 $x + y = 1$ ， $z = 0$ 时， $|B_{1} P| + |P A|$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ D、当 $x + y + z = 1$ ，且 $|A P| = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，则P的轨迹总长度为 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$

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13、若 $a > b > 0$ ， $c > d$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a c > b d$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$

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14、牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 $r$ 是 $f (x) = 0$ 的根，选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L$ ， $L$ 的方程为 $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ．如果 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ ，则 $L$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为 $r$ 的一阶近似值．再过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，并求出切线与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的二阶近似值．重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，根据已有精确度 $ε$ ，当 $|x_{n} - r| < ε$ 时，给出近似解．对于函数 $f (x) = x + e^{x}$ ，已知 $f (r) = 0$ ．

(1)、若给定 $x_{0} = 0$ ，求 $r$ 的二阶近似值 $x_{2}$ ；

(2)、函数 $h (x) = x (\ln x - 1) - \ln x + e^{x} - e^{- x}$ ．
①试写出函数 $h (x)$ 的最小值 $m$ 与 $r$ 的关系式；
②证明： $m > e - 2$ ．

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15、甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为 $\frac{1}{5}$ ，设第 $i$ 天甲挑战的概率为 $p_{i}$ ．

(1)、求 $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

(2)、求证数列 $\{p_{i} - \frac{5}{6}\}$ 为等比数列，并求 $p_{i}$ ；

(3)、若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}$ ， $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 天（即从第1天到第 $n$ 天）中甲挑战的天数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ ．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ 且 $a_{n + 1} = S_{n} + 2$ ．

(1)、求 $a_{2}$ ，及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，
①设 $T_{n} = \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{d_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{d_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ），求 $T_{n}$ ；
②若 $\forall n \in N^{*}$ 都有不等式 $n \leq λ d_{n} + 5$ 成立，求 $λ$ 的取值范围．

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17、为了研究高中学生平时的数学成绩和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取 $100$ 名学生进行调查统计，数据如下：
整理数学错题习惯
数学成绩
合计
优秀
非优秀
有
$20$
$30$
$50$
没有
$10$
$40$
$50$
合计
$30$
$70$
$100$

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；

(2)、在调查统计有整理数学错题集习惯的 $50$ 名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取 $5$ 人组建研讨小组，再从 $5$ 人研讨小组中随机抽取 $3$ 人进行访谈，用 $X$ 表示访谈时成绩优秀的人数，求 $X$ 的分布列、数学期望及方差．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$k$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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18、函数 $f (x) = - 2 x^{α} - x$ ，（ $α \in R$ ， $α \neq 0$ ）的图象在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 平行．

(1)、求 $α$ 的值和切线 $l$ 的方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{2^{n + 1}}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为；若不等式 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n} < m$ （ $m \in N$ ）恒成立，则 $m$ 的最小值为．

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20、将一个边长为 $3 m$ 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 $m^{3}$ ．

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整理数学错题习惯	数学成绩		合计
整理数学错题习惯	优秀	非优秀	合计
有	$20$	$30$	$50$
没有	$10$	$40$	$50$
合计	$30$	$70$	$100$

$P (χ^{2} \geq k)$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$