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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 6 a x + 2, x < 1 \\ a^{x} - 2 x, x \geq 1 \end{matrix} (a > 0, a \neq 1)$ ，若函数 $f (x)$ 满足：对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < - 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, 1)$ B、 $[\frac{5}{7}, 1)$ C、 $(0, \frac{5}{7}]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{7}]$

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2、已知集合 $M = \{x |x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $N = \{x |y = \ln (x - 4)\}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N$ 等于（）．

A、 $(- 1, 4]$ B、 $(- 1, 3]$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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3、已知 $a > b > 0$ ，则“ $m > 1$ ”是“ $a^{m} > b^{m}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、在平面直角坐标系 $O x y$ 中，已知动点 $E$ 与定点 $F (2, 0)$ 的距离和 $E$ 到定直线 $2 x - 1 = 0$ 的距离之比是常数2．

(1)、求动点 $E$ 的轨迹方程 $C$ ；

(2)、过点 $F$ 的动直线与曲线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，问：在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$ ，使得 $\frac{S_{△ P F M}}{S_{△ Q F M}} = \frac{|P M|}{|Q M|}$ 恒成立？若存在，求出定点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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5、已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{3} = \frac{7}{16}$ ， $S_{6} = \frac{63}{128}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{\frac{1}{2}} a_{n}$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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6、已知椭圆中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆的短轴长是 $2$ ，离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求椭圆方程.
（2）倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于 $A, B$ 两点，求弦长 $|A B|$ .

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), F_{1}, F_{2}$ 为C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心 $I (s, 1)$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 b$ ，则椭圆的离心率e为．

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $P$ ， $Q$ 分别是线段 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 上的动点，且满足 $P Q = \sqrt{6}$ ，点 $M$ 是线段 $P Q$ 的中点，则（）

A、若 $P$ 是 $A B$ 的中点，则 $P Q$ $∥$ 平面 $A C D_{1}$ B、若 $Q$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点，则 $A M ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ C、 $|A P|$ 的最大值是 $\sqrt{2}$ D、 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为 $\frac{11}{2} - \sqrt{10}$

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9、已知圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4, A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是圆上的两个动点，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $|x_{1} - y_{1} + 1| + |x_{2} - y_{2} + 1|$ 的最大值为（）

A、 $10 - 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 1$ C、 $5 + \sqrt{2}$ D、 $10 + 2 \sqrt{2}$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n^{2} + a n + b$ ， $n \in N^{*}$ ， $a, b \in R$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则（）

A、 $a > - 2$ B、 $a < - 2$ C、 $a > - 3$ D、 $a < - 3$

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11、直线 $k x - y - 2 k + 2 = 0 (k \in R)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、都有可能

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12、直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、定义：对于函数 $f (x)$ ， $x \in D$ ，若存在闭区间 $[a, b] \subseteq D$ 和常数 $c$ ，使得对 $\forall x \in [a, b]$ ，都有 $f (x) = c$ ，且对 $\forall x \in D$ ，当 $x \notin [a, b]$ 时， $f (x) > c$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“凹平函数”.

(1)、若函数 $g (x) = |x - 1| + |x - 2|$
（i）证明： $g (x)$ 是 $R$ 上的“凹平函数”；
（ii）对于 $\forall m > 0$ ， $n > 0$ ，且满足 $m + n = 1$ ，若 $\frac{4}{2 m + n} + \frac{16}{n + 2} \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若函数 $h (x) = s \cdot 2^{x} + \sqrt{4^{x + 1} - 2^{x + 1} + t}$ 是 $[- 3, + \infty)$ 上的“凹平函数”，求实数 $s$ ， $t$ 的值.

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14、若命题“对任意 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ ，函数 $y = \sin x + \tan x$ 的值恒小于 $m$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为．

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15、已知函数 $y = f (x)$ 的对应关系如下表所示，函数 $y = g (x)$ 的图象是如图所示的曲线 $A B C$ ，若 $g (f (x) + 2) = 2$ ，则 $x$ 的值可能为（）
$x$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
$f (x)$
0
2
1
2
0
3
1

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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16、函数 $y = \sqrt{2 \sin x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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17、已知集合 $A = \{x ||x - 2| \leq 5\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x - 6 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(- 3, - 1) \cup (6, 7)$ C、 $[- 3, - 1) \cup (6, 7]$ D、 $[- 3, 7]$

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18、若函数 $f (x)$ 满足条件：函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，且 $D \subseteq I$ ， $\exists t \in D$ ， $\forall x \in D$ ，当 $x < t$ 时，都有 $f (x) > f (t)$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“ $t$ 型函数”.

(1)、若 $f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x} - 2 x$ 是“ $t$ 型函数”，求实数 $t$ 的最大值；

(2)、若函数 $f (x) = 3 x - (a x + 3) ln (x + 1)$ 不是 $[0, 2]$ 上的“ $t$ 型函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 0$ ， $a_{n} - a_{n - 1} \geq - 1 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，若 $f (n) = a_{n} (n \in N^{*})$ 是“ $t$ 型函数”，且正整数 $t$ 的个数为 $m$ ，证明： $a_{n} \geq - m$ .

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合，且点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $E$ 上.

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、过点 $F$ 作直线 $l_{1}$ 交 $E$ 于 $G, H$ 两点，过原点 $O$ 作直线 $l_{1}$ 的平行线 $l_{2}$ 交 $E$ 于 $M, N$ 两点，则是否存在常数 $λ$ ，使得 $| M N |^{2} = λ |G H|$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20、在机器学习中，精确率 $Q$ 、召回率 $R$ 、卡帕系数 $k$ 是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测， $A$ 表示事件“选到的位点实际有雷”， $B$ 表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率 $Q = P (A |B)$ ，召回率 $R = P (B |A)$ ，卡帕系数 $k = \frac{p_{o} - p_{e}}{1 - p_{e}}$ ，其中 $p_{o} = P (A B) + P (\bar{A} \bar{B}), p_{e} = P (A) P (B) + P (\bar{A}) P (\bar{B})$ ．

(1)、若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率 $Q$ 和召回率 $R$ ．

实际有雷
实际无雷
总计
检测到有雷
40
24
64
检测到无雷
10
26
36
总计
50
50
100

(2)、对任意一次测试，证明： $k = 1 - \frac{Q + R - 2 Q R}{Q + R - 2 P (A B)}$ ．

(3)、若 $0.6 < k \leq 1$ ，则认为机器人的检测效果良好；若 $0.2 < k \leq 0.6$ ，则认为检测效果一般；若 $0 \leq k \leq 0.2$ ，则认为检测效果差．根据卡帕系数 $k$ 评价（1）中机器人的检测效果．

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	实际有雷	实际无雷	总计
检测到有雷	40	24	64
检测到无雷	10	26	36
总计	50	50	100

$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4
$f (x)$	0	2	1	2	0	3	1