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相关试卷

1、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，Q为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点P在棱 $A A_{1}$ 上， $A P : A A_{1} = 1 : 3$ ．

(1)、求点 $D$ 到平面 $B P Q$ 的距离；

(2)、求平面 $A B C D$ 与平面 $B P Q$ 的夹角的余弦值．

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， M是AB的中点，N是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点， $Q$ 是线段 $A_{1} N$ 上的一点，且满足 $P Q //$ 平面 $A_{1} C M$ ，则 $\frac{A_{1} Q}{A_{1} N} =$

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3、已知 $A$ ， $B$ 为随机事件， $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.2$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $A$ ， $B$ 为互斥事件，则 $P (A + B) = 0.5$ B、若 $A$ ， $B$ 为互斥事件，则 $P (\bar{A} + \bar{B}) = 0.5$ C、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.24$ D、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A + B) = 0.44$

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4、已知直线 $l : \sqrt{3} x + y - 2 = 0$ ，则下列选项中正确的有（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ B、直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ C、直线 $l$ 不经过第三象限 D、直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{v} = (- \sqrt{3}, 3)$

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5、棱长为 $\sqrt{6}$ 的正四面体 $A - B C D$ 中，点 $M$ 为平面 $B C D$ 内的动点，且满足 $A M = \sqrt{5}$ ，则直线 $A M$ 与直线 $B D$ 所成的角的余弦值的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{\sqrt{5}}{5}]$ B、 $[0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[0, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[0, \frac{\sqrt{5}}{3}]$

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6、如图，在所有棱长均为 $1$ 的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 交点， $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ，则 $B M$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - a^{2} = 0$ 外切，则 $a =$ （）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{5}$

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8、直线 $(m + 2) x + (m - 2) y - 2 m = 0$ ，无论 $m$ 取何值，该直线恒过定点（）

A、 $(1, - 1)$ B、 $(1, 1)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(2, - 2)$

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9、不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（）．

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{13}{25}$ D、 $\frac{3}{5}$

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10、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $Q$ 为椭圆上任意的点且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E$ 、 $F$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若以线段 $E F$ 为直径的圆经过点 $A (2, 0)$ .
①求证：直线 $l$ 过定点 $P$ ，并求出 $P$ 的坐标；
②求三角形 $A E F$ 面积的最大值.

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11、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = \frac{\sqrt{2}}{2} B C = \sqrt{2}$ ，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，且 $∠ A B B_{1} = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A B C$ 外接球的表面积；

(3)、求 $C B_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $C (x, y)$ 与点 $A (- 2, 0)$ 的距离是它与点 $B (2, 0)$ 的距离的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求动点 $C$ 的轨迹方程；

(2)、点 $D (m, n)$ 在动点 $C$ 的轨迹上，求 $\frac{n}{m + 2}$ 的最大值；

(3)、若直线 $l$ 过点 $M (- 2, - 4)$ 且与动点 $C$ 轨迹相交于 $E, F$ 两点，当 $|E F| = 8$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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13、已知偶函数 $f (x) = \frac{(x + 2) (x + a)}{x^{2}}$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $E$

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq \frac{t x + 1}{x}$ 在区间 $[1, 2]$ 上恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、若 $D = [- n, - m] \cup [m, n]$ ， $E = [2 - \frac{5}{m}, 2 - \frac{5}{n}]$ ，求实数m，n的值.

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14、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{c + a}{b} = \frac{sin C - sin B}{sin C - sin A}$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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15、设函数 $f (x) = a + \sqrt{- x^{2} - 4 x}$ 和 $g (x) = \frac{5}{12} x + 2$ .已知当 $x \in [- 4, 0]$ 时，恒有 $f (x) \leq g (x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为4，方差为2，则数据 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \dots, 2 x_{n} + 3$ 的平均数与方差的和为.

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17、在空间直角坐标系中，若 $\vec{a} = (2, 1, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, x)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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18、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ， P，Q分别是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 上的点，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，则 $r = 4$ B、当 $r = 5$ 时，则两圆公共弦所在直线方程为 $3 x - 4 y - 1 = 0$ C、当 $r = 2$ 时，若直线 $P Q$ 的斜率存在，则 $P Q$ 斜率的最大值为 $- \frac{7}{24}$ D、当 $r = 3$ 时，过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 两条切线，切点分别为A，B，则存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{2}$

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19、已知椭圆 $C$ 的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， P为椭圆 $C$ 上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A、过点 $F_{1}$ 且斜率不为0的直线与椭圆 $C$ 交于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ ，使得 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为2 C、椭圆 $C$ 上存在4个不同的点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆半径的最大值为 $2 \sqrt{3} - 3$

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20、下列说法正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，点 $A (1, 2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(1, - 2, - 3)$ B、在空间直角坐标系中， $\vec{n} = (1, 0, 0)$ 是坐标平面 $O x y$ 的一个法向量 C、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a}, \vec{b} - \vec{a}, \vec{a} - \vec{c}}$ 也是空间一组基底 D、以 $A (4, 1, 9)$ ， $B (10, - 1, 6)$ ， $C (2, 4, 3)$ 为顶点的三角形是等边三角形

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