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相关试卷

1、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D // Q A$ ， $∠ P D A = \frac{π}{2}$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ ．
（1）求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；
（2）求二面角 $C - P B - Q$ 的大小．

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2、已知双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，且该双曲线经过点 $P (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 方程；

(2)、设斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均经过点 $Q (2, 1)$ ，且直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.

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3、已知A、B分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点，M是双曲线上异于A、B的动点，若直线MA、MB的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，始终满足 $f (|k_{1}|) = f (|k_{2}|)$ ，其中 $f (x) = |\ln (\frac{x}{2})|$ ，则C的离心率为．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d (d \neq 0)$ ，且满足 $a_{3} a_{4} + 2 a_{4} a_{6} + a_{5} a_{12} = 2024 d$ ，则 $\frac{1}{a_{6}} - \frac{1}{a_{5}} =$ .

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5、若抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的点 $P (m, n)$ 到其焦点F的距离为3，则n的值为．

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6、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} = {(- 1)}^{n} n - a_{n}, a_{1} = a_{10}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - \frac{45}{2}$ B、 $S_{9} = \frac{5}{2}$ C、 $S_{2 n} = - n^{2}$ D、 $a_{n} a_{n + 1} \leq \frac{33}{4}$

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7、已知方程 $(m - 1) x^{2} + (4 - m) y^{2} = (m - 1) (4 - m)$ 表示曲线Γ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m = 1$ ，则Γ是 $y$ 轴 B、若 $m = 2.5$ ，则Γ是圆 C、若 $1 < m < 2.5$ ，则Γ是椭圆 D、若Γ是双曲线，则 $m < 1$

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8、如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（）

A、 $\vec{V A} + \vec{V B} + \vec{V C} + \vec{V D}$ = $\vec{0}$ B、 $\vec{V A} + \vec{V B} - \vec{V C} - \vec{V D}$ = $\vec{0}$ C、 $\vec{V A} - \vec{V B} + \vec{V C} - \vec{V D}$ = $\vec{0}$ D、 $\vec{V A} \cdot \vec{V B} = \vec{V C} \cdot \vec{V D}$

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9、已知 $P (2, - 2)$ 是离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 外一点，经过点 $P$ 的光线被 $y$ 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{8}$

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10、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，等差数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{20 n - 1}{2 n - 1}$ ．则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ （）

A、 $\frac{59}{5}$ B、11 C、12 D、13

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11、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 6)$ B、 $(4, 6)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(4, + \infty)$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2} + 1} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的短轴长和焦距相等，则a的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、取线段 $P A$ 中点M，连接 $B M$ ，证明： $B M //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $P D$ 上是否存在一点E，使得平面 $E A C$ 与平面 $D A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P E}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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14、已知 $△ A B C$ 的面积记为 $S$ .请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
① $2 a = c + 2 b cos C$ ；② $\sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{B C} + 2 S = 0$ ；③ $(a + b + c) (a - b + c) = 3 a c$
$△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知__________.

(1)、若 $b = 7$ ， $c = 5$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2$ ，求 $a + c$ 的取值范围.

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15、已知点 $P (- 2, - 3)$ 和以点 $Q$ 为圆心的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ .

(1)、求出以 $P Q$ 为直径，点 $Q^{'}$ 为圆心的圆的方程；

(2)、设圆 $Q$ 与圆 $Q^{'}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 是圆 $Q$ 的切线吗?为什么?

(3)、求直线 $A B$ 的方程.

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16、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；

(2)、若落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是57，方差是2，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数 $z$ 和总方差 $s^{2}$ .
参考公式： $s^{2} = \frac{n}{n + m} [s_{x}^{2} + {(\bar{z} - \bar{x})}^{2}] + \frac{m}{n + m} [s_{y}^{2} + {(\bar{z} - \bar{y})}^{2}]$ 其中 $\bar{z}$ 为总样本平均数.

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17、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M, N, P$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}, B C$ 的中点， $Q$ 为平面 $P M N$ 上的动点，且直线 $Q B_{1}$ 与直线 $D B_{1}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，则（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $P M N$ B、平面 $P M N$ 截正方体所得的截面图形为正六边形 C、点 $Q$ 的轨迹长度为 $π$ D、能放入由平面 $P M N$ 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

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18、已知向量 $\vec{m} = (\cos α, - \sin α), \vec{n} = (\cos β, \sin β)$ ，则（）

A、若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $α + β = 2 k π (k \in Z)$ B、 ${\vec{m}}^{2} + {\vec{n}}^{2} = 2$ C、 $\vec{m} \cdot \vec{n} = \cos (α + β)$ D、 $|\vec{m} + \vec{n}| \leq 2$

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19、为使 $x^{2} + y^{2} + 4 x \cos θ + 8 y \sin θ + 10 = 0$ 成为一个圆的方程， $θ$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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20、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与双曲线的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点，设 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $|O P| = |P F_{2}| = \frac{\sqrt{2}}{4} |F_{1} F_{2}|$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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