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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $A$ 是 $△ A B C$ 的最小内角，且 $tan A$ 为整数，若 $sin A + a sin B = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{4}$ B、 $b = 2$ C、若 $B < C$ ，且 $tan B$ 为整数，则 $tan B = 2$ D、若 $△ A B C$ 为直角三角形，则 $△ A B C$ 的面积为1

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2、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x}, x > a \\ f (x + 3), x \leq a \end{array}$ ，且 $f (- 1) = 9$ ，则（）

A、 $a$ 的值可以为 $- 1$ B、 $a$ 的值可以为2 C、若 $f (a) = 81$ ，则 $a = 1$ D、若 $m > n$ ，且 $f (m) = f (n)$ ，则 $m$ 的最大值为 $a + 3$

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3、已知 $P$ 是椭圆 $16 x^{2} + 25 y^{2} = 1600$ 上的一点，且在 $x$ 轴上方， $F_{1}, F_{2}$ 分别是该椭圆的左、右焦点，直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $- 4 \sqrt{3}$ ，则 $cos ∠ P F_{1} F_{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{11}{13}$ D、 $\frac{37}{91}$

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4、已知 $tan α sin α = 3$ ，则 ${tan}^{2} α - {sin}^{2} α$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、9 D、81

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5、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A ⊥ C B, A B = C C_{1} = 2$ ，该三棱柱所有顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、 $8 π$ D、 $\frac{64 \sqrt{2} π}{3}$

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6、某家电公司生产了 $A, B$ 两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（）

A、 $A$ 型号空调月销售量的极差比 $B$ 型号空调月销售量的极差大 B、 $A$ 型号空调月平均销售量比 $B$ 型号空调月平均销售量大 C、 $A$ 型号空调月销售量的上四分位数比 $B$ 型号空调销售量的上四分位数大 D、 $A$ 型号空调月销售量的方差比 $B$ 型号空调月销售量的方差小

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, P$ 是 $C$ 上一点，且 $△ O P F$ 的面积为1.则 $|P F| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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8、设 $a, b \in R$ ，则“ $a b < 1$ ”是“ $0 < a < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, m)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、2

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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11、双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数： $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、求 $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x)$ 的值；

(2)、证明：两角和的双曲余弦公式 $\cosh (x + y) = \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y)$ ；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $4 m \cosh^{2} (x) - 2 \sinh (2 x) - 3 \geq 0$ 在 $[\ln 2, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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12、如图，在平行四边形ABCD中， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{C P} = 2 \vec{P D}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{A Q}$ ， $\vec{P Q} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，

(1)、求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求 $\vec{B D} \cdot \vec{P Q}$ 的值．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin x$ .在 $△ A B C$ 中， $f (B) = f (C)$ ，且 $b \neq c$ .

(1)、求 $∠ A$ 的大小：

(2)、若 $a = 5$ ， $b + c = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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14、若函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 ω x - 2 {cos}^{2} ω x + 1 (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个零点，则 $ω$ 的取值范围为.

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 6)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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16、计算： $8^{- \frac{2}{3}} + {log}_{9} 8 \cdot {log}_{2} 3 =$ ．

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17、设复数 $z = \frac{1 + 3 i}{2 + i}$ ，则下列命题结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为1 B、 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限 C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根

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18、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}$ B、 $\frac{1 + tan 15^{\circ}}{2 (1 - tan 15^{\circ})}$ C、 $1 - 2 {sin}^{2} 15^{\circ}$ D、 $\frac{2 tan 15^{\circ}}{1 - {tan}^{2} 15^{\circ}}$

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19、若角 $θ$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、设四边形 $A B C D$ 为矩形， $|\vec{A B}| = 6$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ，若点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{M C}$ ， $\vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ （）

A、28 B、32 C、36 D、40

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