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相关试卷

1、在 $Δ A B C$ 中，已知 $A = 15^{\circ}$ ， $B = 45^{\circ}$ ， $c = 3 + \sqrt{3}$ ，解这个三角形．

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2、在圆内接四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ .则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为.

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3、如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 105 °$ ， $C D = 20 m$ ，在点C处测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，则塔高 $A B =$ $m$ ．

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4、若3+2i是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根，则q的值是.

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点P为线段 $A_{1} B$ 上的一个动点，下列说法正确的是（）

A、平面 $B_{1} C D$ 与底面ABC的交线平行于 $B_{1} D$ B、三棱锥 $P - B_{1} C D$ 的体积为定值 C、直线 $A_{1} B$ 与直线CD可能相交 D、 $A P + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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6、欧拉公式： $e^{i θ} = cosθ + i sinθ (i$ 是虚数单位， $e = 2.718 \dots$ ， $θ \in R)$ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令 $θ = π$ 可得 $e^{i π} + 1 = 0$ .它又将自然界中的两个重要的无理数 $π$ 和 $e$ 、实数单位 $1$ 、虚数单位 $i$ 以及复数中的 $0$ 巧妙地结合在一起 $.$ 被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等 $.$ 下列关于欧拉公式的叙述正确的有（）

A、 $e^{2025 π i} - 1 = 0$ B、复数 $e^{3 i}$ 对应的点位于第二象限 C、 $|e^{x i}| = 1$ D、 $\bar{(e^{i θ})} = e^{\bar{i θ}}$

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7、在锐角 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $c = b (1 + 2 cos A)$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{2}, 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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8、如图，两个底面半径相同的圆锥组合的一个几何体，若底面圆的半径为1，两个圆锥的母线长分别为 $2, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该几何体内切球的半径为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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9、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示， $P$ 为圆锥的顶点， $A$ ， $B$ 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为 $6 π$ ，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）

A、 $(33 + 9 \sqrt{2}) π$ B、 $(24 + 9 \sqrt{2}) π$ C、 $(33 + 18 \sqrt{2}) π$ D、 $(24 + 18 \sqrt{2}) π$

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10、 $(1 - 5 i) (4 + 3 i)$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知 $f (x) = 2 x \ln x + a x^{2} + b$ 在点 $(1, f (1))$ 处与 $x$ 轴相切.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $m > n > 0$ ，求证 $\sqrt{m n} < \frac{m - n}{\ln m - \ln n}$ .

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12、如图所示的平面直角坐标系中，是一个模拟某旅游地区的 $(n + 1) \times (n + 1)$ 格点图，共有 ${(n + 1)}^{2}$ 个格点.阴影区域 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 分别是该城市两大著名景区，阴影部分内的格点代表景区内的景点.游客在格点之间必须乘坐观光车，从格点 $A (0, 0)$ 出发，最后到达终点 $B (n, n)$ ，游客经过阴影区域中的格点都会进行游览.观光车只能在图中格点的连线上行驶，且整个过程将以最小行驶距离到达终点.

(1)、当 $n = 3$ 时，求一辆观光车从 $A$ 点到 $B$ 点会经过格点 $(2, 1)$ 的路线总数；

(2)、已知一个由 $m$ 个 $+ 1$ 和 $m$ 个 $- 1$ 构成的含有 $2 m$ 项的序列： $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 m}$ ，满足任意前 $k$ 项和 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq 0 (1 \leq k \leq 2 m)$ .序列个数为 $C_{2 m}^{m} - C_{2 m}^{m - 1}$ .
（i）当 $n = 4$ 时，某游客游览了7个景点，求他游览的路线总数；
（ii）设某游客游览了两个景区各至少1个景点的路线总数为 $Q_{n}$ ，求证：当 $n \geq 5$ 时， $168 \times {(\frac{19}{5})}^{n - 5} \leq Q_{n} \leq \frac{21}{2} \times 4^{n - 3}$ .

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点为 $A, B$ ，且 $|A B| = 2$ ，双曲线 $C$ 的一条渐近线的斜率为 $\sqrt{2}$ ，过点 $R (2, 0)$ 的直线 $l_{1}$ 交双曲线 $C$ 于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若双曲线 $C$ 上存在点 $T$ ，且 $\vec{O T} = \frac{\sqrt{2}}{8} (\vec{O M} + \vec{O N})$ ，求此时直线 $l_{1}$ 的方程.

(3)、过点 $R (2, 0)$ 的直线 $l_{2}$ 双曲线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $l_{1}$ 的斜率为 $k_{1} (\frac{1}{2} < k_{1} < 1)$ ，直线 $l_{2}$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{3}$ ，求 $|M R| \cdot |N R| \cdot |P R| \cdot |Q R|$ 的最小值.

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14、如图1，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D, C D = A B + 2, E, F$ 分别为 $A B, C D$ 的中点，且 $E F = \sqrt{6}$ ，将梯形 $A E F D$ 沿 $E F$ 翻折至梯形 $A_{1} E F D_{1}$ ，使得平面 $A_{1} E F D_{1} ⊥$ 平面 $B E F C$ ，得到如图的多面体 $A_{1} B E D_{1} C F$ ，且 $B F ⊥ A_{1} C$ .

(1)、证明： $A_{1}, B, C, D_{1}$ 四点共面；

(2)、求 $B E$ 的长；

(3)、在 $D_{1} C$ 上取一点 $P$ ，使得平面 $E F P ⊥$ 平面 $A_{1} B C D_{1}$ ，求平面 $B F P$ 与平面 $B E F C$ 夹角的余弦值.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + 4 ln x - a x - m$ （实数 $a, m$ 为常数）在 $x = 1$ 处取得极值.

(1)、求实数 $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的极小值：

(2)、当 $x \in [1, 2]$ 时，设 $T (m)$ 为 $|f (x)|$ 的最大值，求 $T (m)$ 的最小值.

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且 $4 a_{3}, 2 a_{4}, a_{5}$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、求 $a_{n} + \frac{a_{n - 1}}{4} + \frac{a_{n - 2}}{4^{2}} \dots + \frac{a_{1}}{4^{n - 1}}$ .

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17、在坐标平面 $x O y$ 中，已知过点 $M (a, b)$ 恰能作曲线 $y = \ln x^{2}$ 的2条切线，则由所有点 $M$ 构成的集合为.

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18、在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲､乙､丙3个问题，已知他答对甲､乙､丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为.

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} + a_{5} = - 2$ ，则 $S_{8} =$ .

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20、已知集合 $P \subseteq N^{*}$ ，对于 $P$ 中的任意两个元素 $a, b$ 都有 $a b - 16 |a - b| \leq 0$ ，则集合 $P$ 的元素个数可以为（）

A、4个 B、7个 C、9个 D、10个

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