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相关试卷

1、一组数据有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 是公差为d（ $d \neq 0$ ）的等差数列，去掉首末两项后得到一组新数据，则（）

A、两组数据的极差相同 B、两组数据的中位数相同 C、两组数据的平均数相同 D、两组数据的上四分位数相同

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且 $f (x + y) + f (x - y) = \frac{1}{2} f (x) f (y)$ ， $f (1) = - 2$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) =$ （）

A、 $- 4$ B、4 C、0 D、 $- 2$

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3、已知三棱锥P-ABC中， $△ P A B$ 是边长为2的等边三角形， $P C = 2$ ， $A C = \sqrt{6}$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

A、 $6 π$ B、 $10 π$ C、 $\frac{32}{5} π$ D、 $\frac{28}{5} π$

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4、已知点 $A (\frac{π}{24}, 0)$ 在函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < 0)$ 的图像上，若 $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $\frac{φ}{ω} =$ （）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、 $- \frac{2 π}{3}$

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5、已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是 $x$ ，第二次取出的球的数字是 $y$ .若事件 $A =$ “ $x + y$ 为偶数”，事件 $B =$ “ $x$ ， $y$ 中有偶数且 $x \neq y$ ”，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6、已知 $\sin (α + β) = 3 m$ ， $\tan β = 2 \tan α$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $- m$ B、m C、0 D、2m

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7、已知向量 $\vec{a} = (0, 5)$ ， $\vec{b} = (2, - 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(4, - 8)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(2, - 4)$

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8、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[- 2, 1)$ C、 $[1, 2]$ D、 $(1, 2]$

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9、已知 $z = \frac{5}{2 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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10、方程 $\log_{2} x = 5 - x$ 的解所在的区间是

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为3的等比数列，且 $a_{2} + b_{3} = 30, b_{2} = a_{4} + 2$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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12、某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地 $A B C D$ （边长为8米）如图所示， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 的中点，在场地 $A B C D$ 中设置了一个半径为 $\frac{9}{5}$ 米的圆 $H$ ，圆 $H$ 与直线 $A B$ 相切于点 $E$ .比赛中，机器人从 $F$ 点出发，经过线段 $A G$ 上一点，然后再到达圆 $H$ ，则机器人走过的最短路程是（）

A、 $\frac{7 \sqrt{41} - 9}{5}$ 米 B、 $\frac{6 \sqrt{61} - 9}{5}$ 米 C、 $\frac{7 \sqrt{41}}{5}$ 米 D、 $\frac{6 \sqrt{61}}{5}$ 米

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 在 $C$ 上， $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{2} B}, \vec{F_{1} A} = \frac{2}{3} \vec{F_{1} B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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14、关于 $x$ 的不等式 ${(a x - 1)}^{2} < x^{2}$ 恰有2个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15、已知函数 $f (x) = e^{a x} + \frac{1}{2} a x^{2}, a \in R$ .

(1)、求 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x + 1}}{a} - \ln x - \ln a$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) + 1 \geq 0$ ，求实数a的取值范围.

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17、高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为 $\frac{49}{50}$ ， $\frac{48}{49}$ ， $\frac{47}{48}$ ，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

(2)、人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为 $f (p)$ ，当 $p = p_{0}$ 时， $f (p)$ 取得最大值，求 $p_{0}$ ；

(3)、若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．

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18、海水养殖场进行某水产品的新旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱测量各箱水产品的产量（单位： $kg$ ），其频率分布直方图如图所示：

(1)、根据频率分布直方图，填写下列列联表.
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量 $\geq 50 kg$
旧养殖法

新养殖法

合计

(2)、根据小概率 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828

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19、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1}^{2} - S_{n}^{2} = 8 n$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1}$ 之间依次插入 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{k}$ ，得到数列 $\{b_{n}\} : a_{1}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $\dots$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $20$ 项和 $T_{20}$ ．

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20、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位： $t$ ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 $x$ （万元）和年销售量 $y$ （单位： $t$ ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
$x$ （万元）
2
4
5
3
6
$y$ （单位： $t$ ）
2.5
4
4.5
3
6
（1）根据表中数据建立年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ ， $y$ 的关系为 $z = y - 0.05 x^{2} - 1.85$ ，根据（1）中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附：问归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{1}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{1} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{1} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{S} x_{1} y_{1} = 88.5$ ， $\sum_{i = 1}^{S} x_{1}^{2} = 90$ .

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养殖法	箱产量		合计
养殖法	箱产量<50kg	箱产量 $\geq 50 kg$	合计
旧养殖法
新养殖法
合计

$P (χ^{2} \geq x_{α})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.481	5.024	6.635	7.879	10.828

$x$ （万元）	2	4	5	3	6
$y$ （单位： $t$ ）	2.5	4	4.5	3	6