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1、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{d}{a_{1}} + \frac{a_{3}}{d} = 4$ ，则 $\frac{S_{2025}}{a_{2025}} =$ ．

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2、若 $x^{10} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x + 1)}^{10}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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3、已知定义在区间 $[1, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1, 1 \leq x < 2 \\ \frac{f (x - 1)}{1 + f (x - 1)}, x \geq 2 \end{cases}$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $f (2025) = \frac{1}{2025}$ B、当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{x} \leq f (x) < \frac{1}{x - 1}$ C、若 $f (x) \leq \frac{k}{x + 1}$ ，则 $k \geq 2$ D、若 $f (x) \geq a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ ，则 $a \leq \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

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4、设随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{12}$ B、 $A$ ， $B$ 相互独立 C、 $P (A| B) = \frac{1}{4}$ D、 $P (B | \bar{A}) = \frac{1}{4}$

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5、已知点 $O (0, 0)$ ， $A (0, 1)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (1, 0)$ ，平面上仅在线段 $O A$ ， $A B$ ， $B C$ 所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量 $\vec{s} = (1, m) (m > 0)$ 的方向从线段 $O C$ 上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在 $B C$ ， $A B$ ， $O A$ 各反射一次后从线段 $O C$ 上某点射出，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, 2)$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{2}{3}, 2)$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$

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6、设 $A B$ 为圆锥 $S O$ 底面的一条直径， $P$ 为底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的一点， $Q$ 为 $S O$ 中点，且二面角 $S - P A - B$ 与二面角 $Q - P B - A$ 相等．若三棱锥 $S - A B P$ 的体积为 $V$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{5 π}{3} V$ B、 $\frac{5 π}{4} V$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} V$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} π}{4} V$

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7、已知x，y为实数，则“ $x y > 0$ ”是“ $| x + y | = | x | + | y |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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8、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) \cos (β + \frac{π}{6}) = 1$ ，则 $\tan (α - β) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、0 D、 $- \sqrt{3}$

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9、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不平行， $(λ \vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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10、设集合 $S = {x | - 2 < x < 2}$ ， $A = {x ∣ x \in S}$ ， $B = \{x^{2} ∣ x \in S\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2}$

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11、若 $f (x) = {(x - 2)}^{2} + 2 a x$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、－4 B、－2 C、0 D、2

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12、已知 $z = 3 - 4 i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、5 D、7

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13、中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率 $C$ 取决于信道带宽 $W$ 、信道内信号的平均功率 $S$ 、信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从2000提升至10000，则 $C$ 大约增加了 $(\lg 2 \approx 0.3010)$ （）

A、 $18 %$ B、 $21 %$ C、 $23 %$ D、 $25 %$

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14、已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ 或2 B、2 C、 $- 1$ D、1

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15、已知直线 $l$ 过点 $A (1, 2, 0)$ ，且直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{m} = (0, - 1, 1)$ ，则坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为.

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16、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 8$ ，则 $a b$ 的最小值为.

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17、下列说法中错误的是（）

A、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c < b d$ B、若 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、若 $1 < a < 3$ ， $- 1 < b < 0$ ，则 $1 < a - b < 4$ D、若 $a < 0$ ， $a b > a^{2}$ ，则 $b^{2} < a^{2}$

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18、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{A B} = 4 \vec{F_{2} B}$ ， $|F_{1} A| = 2 |F_{2} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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19、某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A． $y = k x + b (k > 0)$ ；B． $y = k \cdot {1.5}^{x} + b (k > 0)$ ；C． $y = k \log_{2} (\frac{x}{15} + 2) + n (k > 0)$ ．

(1)、请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；

(2)、根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？

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20、已知向量 $\vec{A B} = (2, 2)$ ，则与 $\vec{A B}$ 共线且反向的单位向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 或 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(2, 2)$

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