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相关试卷

1、下列函数中在 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，周期为 $π$ 且为奇函数的是（）

A、 $y = cos (2 x + \frac{π}{2})$ B、 $y = sin 2 x$ C、 $y = tan x$ D、 $y = sin (2 x + \frac{π}{2})$

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2、已知 $α$ 是第二象限的角， $P (x, 8)$ 为其终边上的一点，且 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 6$ B、 $\pm 6$ C、 $\pm \frac{32}{3}$ D、 $- \frac{32}{3}$

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3、已知集合 $A = \{- 2, 0, 1, sin 1, 3\}, B = {x | - 2 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, sin 1\}$ D、 $\{- 2, 0, 1, sin 1\}$

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{4} = T_{7}$ ，则 $a_{6} =$ ．

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5、铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形 $A B C D$ 的边长为2，圆 $O$ 的半径为3，正方形 $A B C D$ 的中心与圆 $O$ 的圆心重合，动点 $P$ 在圆 $O$ 上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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6、命题 $p$ ：“ $\forall x \in [1, 2]$ ， $x^{2} + x - a \geq 0$ ”，命题 $q$ ：“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 - a = 0$ ”.

(1)、写出命题 $p$ 的否定命题 $\neg p$ ，并求当命题 $\neg p$ 为真时，实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 和 $q$ 中有且只有一个是真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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7、一元二次方程 $a x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（）

A、 $a < 0$ B、 $a < - 1$ C、 $a < 1$ D、 $- 3 < a < - 2$

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8、若函数 $y = f (x)$ 同时满足下列三个性质：①最小正周期为 $π$ ；②图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；③在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减，则 $y = f (x)$ 的解析式可以是（）

A、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ C、 $y = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$

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9、设 $a = \log_{0.3} 3$ ， $b = 2^{- \frac{1}{3}} ， c = \log_{2} 3$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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10、如图，曲线 $y = \sqrt{x}$ 下有一系列正三角形，设第n个正三角形 $△ Q_{n - 1} P_{n} Q_{n}$ （ $Q_{0}$ 为坐标原点）的边长为 $a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；

(2)、求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设曲线在点 $P_{n}$ 处的切线斜率为 $k_{n}$ ，求证： $k_{1} k_{2} + k_{2} k_{3} + k_{3} k_{4} + \dots + k_{n - 1} k_{n} < \frac{3}{4} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} - a ln (x + 1), g (x) = sin x - x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、证明：当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $g (x) \leq 0$ ；

(2)、若 $x > 0$ 时， $f (x)$ 有极小值，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、对任意的 $x \in [0, π], 2 f (x) \geq g^{'} (x) + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、在正整数1，2，…， $n (n \geq 2)$ 的任意一个排列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中，对于任意i， $j \in N^{*}$ ， $i < j$ ，若 $a_{i} < a_{j}$ ，则称 $(a_{i}, a_{j})$ 为一个顺序对，若 $a_{i} > a_{j}$ ，则称 $(a_{i}, a_{j})$ 为一个逆序对.记排列A中顺序对的个数为 $S (A)$ ，逆序对的个数为 $N (A)$ .例如对于排列A：2，1，3， $S (A) = 2$ ， $N (A) = 1$ .

(1)、设排列B：2，4，1，3和C：5，3，1，4，2，试写出 $S (B)$ ， $N (B)$ ， $S (C)$ ， $N (C)$ 的值；

(2)、对于正整数1，2，…， $n (n \geq 2)$ 的所有排列A，求满足 $S (A) = 2$ 的排列个数；

(3)、如果把排列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中两项 $a_{i}$ ， $a_{j} (i < j)$ 交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列 $A^{'}$ .求证： $[S (A) - S (A^{'})] \cdot [N (A) - N (A^{'})]$ 为奇数.

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - (a + 1) x - b - 1 (a > - 1)$ .

(1)、若直线 $y = - a x + b + 1$ 为曲线 $y = f (x)$ 的一条切线，求实数b的值；

(2)、若对任意的 $x \in R$ ，函数 $f (x) \geq 0$ 恒成立，且 $f (- 1) \leq e^{- 1} + a$ ，求实数a的值；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ 时， $\frac{n^{n - 1}}{(n - 1)!} > e^{\frac{n - 1}{2}}$ .

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14、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长与短轴长之和为6.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知 $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设 $\vec{P M} = λ_{1} \vec{M B}$ ， $\vec{P N} = λ_{2} \bar{N D}$ .求证：当点P在椭圆C上运动时， $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值.

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15、如图1，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ 分别为正方形 $A B C D$ ， $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，现保持平面ABCD不动，在上底面 $A_{1} C_{1}$ 内将正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕点 $Q_{2}$ 逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体 $A B C D - E F G H$ .

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设 $Q_{1} Q_{2}$ 的中点为O，求点O到平面 $D B E$ 的距离；

(3)、求平面 $D B E$ 与平面 $D B G$ 所成角的余弦值.

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16、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{2 a}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\sin B = 2 \sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、随机将1，2，…， $2 n$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记 $ξ = |a - b|$ .当 $n = 3$ 时， $ξ$ 的数学期望 $E (ξ) =$ ；若对任意 $n \geq 2$ ， $E (ξ) < c$ 恒成立，则c的最小值为.

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18、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $S_{3} = 39$ ，则 $a_{n} =$ .

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19、设直线 $y = t$ 与函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ 图象的三个交点分别为 $A (a, t)$ ， $B (b, t)$ ， $C (c, t)$ ，且 $a < b < c$ ，则（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(2, 2)$ B、abc的取值范围为 $(0, 12)$ C、ac的取值范围为 $(0, 4)$ D、 $c - a$ 的取值范围为 $(3, 2 \sqrt{3}]$

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20、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的准线 $l$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切， $P$ 为 $C$ 上的动点， $N$ 为圆 $M$ 上的动点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ， $C$ 的焦点为 $F$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $r = 1$ B、当 $△ P F Q$ 为正三角形时，直线 $P Q$ 与圆 $M$ 相离 C、 $|P N| + |P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{17} - 1$ D、有且仅有一个点 $P$ ，使得 $|P M| = |P Q|$

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