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相关试卷

1、已知正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是棱 $A C$ 上一点，过 $E$ 作平面 $α$ ，满足 $A B$ $//$ $α, C D$ $//$ $α$ ，若 $A B 、 C D$ 到平面 $α$ 的距离分别是3和9，则正四面体 $A B C D$ 的外接球被平面 $α$ 截得的截面面积为（）

A、 $99 π$ B、 $100 π$ C、 $103 π$ D、 $108 π$

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2、已知函数 $f (x) = sin (ω x), ω > 0$ ，将 $f (x)$ 图象上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{6}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(0, 2]$ C、 $(0, \frac{3}{2}]$ D、 $(0, 1]$

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3、如图，计划在两个山顶 $M, N$ 间架设一条索道.为测量 $M, N$ 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高 $M C = 100 \sqrt{3} m, N B = 50 \sqrt{2} m$ ，在 $B C$ 同一水平面上选一点 $A$ ，在 $A$ 处测得山顶 $M, N$ 的仰角分别为 $60^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ ，且测得 $∠ M A N = 45^{\circ}$ ，则 $M, N$ 间的距离为（）

A、 $100 m$ B、 $50 \sqrt{6} m$ C、 $100 \sqrt{2} m$ D、 $100 \sqrt{3} m$

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4、如图是一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和随机事件 $A, B$ ，其中 $n (Ω) = 30, n (A) = 15, n (B) = 10, n (A \cup B) = 20$ ，则 $P (\bar{A B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、已知 $a$ ， $b \in R$ ， $p$ ： $a < b$ ， $q$ ： $a^{2} > b (2 a - b)$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、若 $(2 + i) \cdot z = 5 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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7、设集合 $A = \{x ∣ 2 < x^{2} < 10\}, B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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8、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 是由 $n (n > 3, n \in N^{*})$ 个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 $A$ 为“可分集合”.下列说法正确的是（）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ 不是“可分集合” B、 $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ 是“可分集合” C、四个元素的集合 $B = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 可能是“可分集合” D、五个元素的集合 $C = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\}$ 不可能是“可分集合”

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9、若两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + y = 2 x y$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 2$ B、 $m < - 2$ ，或 $m > 1$ C、 $- 2 < m < 1$ D、 $m < - 1$ ，或 $m > 2$

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ．

(1)、画出函数 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式（写出求解过程）．

(3)、求 $y = f (x)$ ， $x \in [- 4, 2]$ 的值域．

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{cases}$ ，当方程 $f (x) - k = 0$ 有两解时， $k$ 的取值范围是.

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12、若扇形的弧长为 $π$ ，半径为2，则该扇形的面积是.

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13、 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点， $A D = 1$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $cos ∠ B A C$ 的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x - \sqrt{3} a \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} a + b (a \neq 0)$

(1)、写出函数的单调递减区间；

(2)、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值.

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15、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(3)、若 $\vec{d} = (3, 4)$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{d}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为棱 $P D$ 的中点．
（1）求证： $B C //$ 平面 $P A D$ ；
（2）设平面 $E B C \cap$ 平面 $P A D = E F$ ，点 $F$ 在 $P A$ 上，求证： $F$ 为 $P A$ 的中点．

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17、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A$ ， $P$ ， $Q$ 的平面截该正方体所得截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）

①当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形.
②当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R_{1} = \frac{1}{3}$ .
③当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为四边形.
④当 $C Q = 1$ 时， $S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，若 $(a + c) (a - c) = b (b - \sqrt{3} c)$ ，则 $A =$

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19、已知以 $O$ 为起点的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ .

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20、在三角形 $A B C$ 所在平面内，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{m |\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{n |\vec{A C}|})$ ，其中 $λ \in (0, + \infty)$ ， $m, n \in R$ ， $m \neq 0$ ， $n \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $m |A B| = n |A C|$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的重心 B、当 $m = n = 1$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的外心 C、当 $m = cos B, n = cos C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的垂心 D、当 $m = sin B, n = sin C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的内心

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