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相关试卷

1、随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数 $y$ （单位：人）与该初级私人健身教练价格 $x$ （单位：元/小时）的情况，如下表所示.
月份
1
2
3
4
5
初级私人健身教练价格 $x$ （元/小时）
210
200
190
170
150
初级私人健身教练课程的月报名人数 $y$ （人）
5
8
7
9
11

(1)、求 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当 $|r| \in [0.75, 1]$ 时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）

(2)、请建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；（精确到0.001）

(3)、当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）
参考公式：对于一组数据 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，3，…，n），相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sqrt{29} \approx 5.385$ . $\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 4 \sqrt{145}$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 200$ .

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \sin A + b \sin B = 2 c \sin (A - B)$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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3、已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $\sin (π + α) =$ ．

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4、从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有种.

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，E是PC的中点，则以下结论（）

A、 $P A //$ 平面BDE B、平面 $P A C ⊥$ 平面BDE C、 $P C ⊥ B D$ D、异面直线PC与AB所成的角为 $45 °$

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6、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, 3^{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $E (X) = 1$ ， $D (X) = 9$ B、若 $P (X > 2) = p$ ，则 $P (0 < X \leq 1) = \frac{1}{2} - p$ C、 $P (X > 1) = \frac{1}{2}$ D、随机变量 $Y$ 满足 $2 X + Y = 4$ ，则 $E (Y) = 4$

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7、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若 $△ A B F_{1}$ 为直角三角形，则（）

A、 $b = 2 + 2 \sqrt{2}$ B、双曲线的离心率 $\sqrt{2} + 1$ C、双曲线的焦距为 $2 \sqrt{5}$ D、 $△ A B F_{1}$ 的面积为 $12 + 8 \sqrt{2}$

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8、已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的单调递增函数， $\forall x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (- m) + f (\frac{\ln x}{x}) \leq f (1 + m)$ $+ f (1 - \frac{\ln x}{x})$ 恒成立，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, e^{- \frac{1}{2}}]$ B、 $[\frac{2}{e}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1 + \frac{1}{e}]$ D、 $[\frac{1}{e} - 1, + \infty)$

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9、已知 $tan α$ ， $tan β$ 是方程 $x^{2} + 3 \sqrt{3} x + 4 = 0$ 的两根，且 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ， $- \frac{π}{2} < β < \frac{π}{2}$ ，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $- \frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2} + 1$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{3} = a_{4} + 1$ ，则使 $b_{6} + 1 \geq S_{n}$ 成立的n的最大值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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11、若 $0 < a < 1$ ， $b > 0$ ，且 $a^{b} + a^{- b} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $a^{b} - a^{- b}$ 等于（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2或 $- 2$ C、 $- 2$ D、2

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12、若复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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13、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ，面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 面 $A C C_{1} A_{1}$ ， $A A_{1} = A_{1} C_{1} = C C_{1} = 2, A C = 4$ ，且 $B B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(3)、问侧棱 $B B_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使二面角 $M - A C - B$ 成 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出 $\frac{B M}{B B_{1}}$ 的值；若不存在，说明理由.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的外接圆半径 $R = \frac{1}{4}$ ， ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B + sin A sin B = 2 c sin C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、求 $2 a + b$ 的取值范围.

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15、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $|\vec{a}| = 3 \sqrt{2}, |\vec{b}| = 6$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量；

(2)、求 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}|$ .

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16、已知 $sin (α - β) cos α - cos (α - β) sin α = \frac{3}{5}, β$ 是第三象限角，则 $sin (β + \frac{5 π}{4}) =$ .

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17、 $\sqrt[3]{216} + lg 8 + 3 lg 5 =$ .

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18、“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为 $V_{0}, V_{1}, V_{2}, V_{3}$ .设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为 $S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则以下关系正确的是（）

A、 $\frac{V_{0}}{V_{1}} = \frac{S_{0}}{S_{1}} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{V_{0}}{V_{2}} > \frac{S_{0}}{S_{2}}$ C、 $\frac{V_{0}}{V_{3}} > \frac{S_{0}}{S_{3}}$ D、 $\frac{V_{0}}{V_{3}}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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19、下列命题正确的是（）

A、若事件 $A, B, C$ 两两互斥，则 $P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)$ 成立. B、若事件 $A, B, C$ 两两独立，则 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ 成立. C、若事件 $A, B$ 相互独立，则 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立. D、若 $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，则事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不能同时成立.

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20、下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间 $[2, 6]$ 上存在零点的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ B、 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ C、 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ D、 $f (x) = sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}$

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月份	1	2	3	4	5
初级私人健身教练价格 $x$ （元/小时）	210	200	190	170	150
初级私人健身教练课程的月报名人数 $y$ （人）	5	8	7	9	11