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相关试卷

1、若集合 $M$ 和 $N$ 关系的Venn图如图所示，则 $M, N$ 可能是（）

A、 $M = \{0, 2, 4, 6\}, N = \{4\}$ B、 $M = \{x ∣ x^{2} < 1\}, N = {x ∣ x > - 1}$ C、 $M = \{x ∣ y = lg x\}, N = \{y ∣ y = e^{x} + 5\}$ D、 $M = \{(x, y) ∣ x^{2} = y^{2}\}, N = \{(x, y) ∣ y = x\}$

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}, \vec{A D} = 2 \vec{D B}, P$ 为 $C D$ 上一点，且 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $△ A B C$ 面积是 $8 \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{A P}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6}), x \leq \frac{2π}{3} \\ \log_{\frac{1}{e}} x, \frac{2π}{3} < x \leq c \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 的值域是 $[- 2, 1]$ ，则 $c$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $e$ C、 $e^{2}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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4、已知命题“ $\forall x \in [1, 4], e^{x} - \frac{2}{x} - m \geq 0$ ”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, e - 2]$ B、 $(- \infty, e^{4} - \frac{1}{2}]$ C、 $[e - 2, + \infty)$ D、 $[e^{4} - \frac{1}{2}, + \infty)$

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5、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{a} - \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{26}}{26}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ D、 $- \frac{\sqrt{26}}{13}$

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6、已知函数 $f (x) = x + 2^{x}$ 的零点在区间 $(n ， n + 1)$ 内， $n \in Z$ ，则 $n$ 的值为（）

A、－2 B、－1 C、0 D、1

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7、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a + 1) x (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 1$ ，求a的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) < - 1$ ．

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8、已知集合 $A = {x | \frac{1}{4} \leq 2^{x - 1} \leq 128}$ ， $B = {y | y = \log_{2} x, x \in [\frac{1}{8}, 32]}$

(1)、求集合 $A \cup B$ ；

(2)、若 $C = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ， $C \subseteq (A \cap B)$ ，求实数m的取值范围．

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9、已知 $\vec{n_{1}} = (\sqrt{3}, x, 2)$ ， $\vec{n_{2}} = (- 3, \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3})$ 分别是平面 $α, β$ 的法向量，若 $α // β$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- 1$ C、1 D、7

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10、直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 $y = k x + 1 (k \in R)$ 表示过点 $(0, 1)$ 的直线族（不包括直线 $y$ 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

(1)、圆 $M : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 是直线族 $m x + n y = 1 (m, n \in R)$ 的包络曲线，求 $m, n$ 满足的关系式；

(2)、若点 $N (x_{0}, y_{0})$ 不在直线族 $Ω : y = t x - t^{2} (t \in R)$ 的任意一条直线上，求 $y_{0}$ 的取值范围及直线族 $Ω$ 的包络曲线 $E$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，过直线 $x - 4 y - 4 = 0$ 上的动点 $P$ 作曲线 $E$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，求原点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$ 的最大值.

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11、已知直线 $y = k x - 2$ 与曲线 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = | x | - 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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12、已知直线 $l$ 经过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得 $\vec{O P} = \vec{O A} + \vec{O B}$ 成立的点P的横坐标为3，则四边形 $O A P B$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{5}$

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13、 ${(\frac{2}{x} - \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为．

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14、若向量 $\vec{a} = (m, 2), \vec{b} = (1, 3), (\vec{a} - \vec{b}) // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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15、已知函数 $f (x) = \log_{3} (9^{x} + 1) + k x$ 是偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $x \in [0, 1]$ 时，不等式 $f (x) + x - \log_{3} (m \cdot 3^{x} - 1) \geq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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16、已知函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，记 $g (x) = f (x) [f (x) + f (2) - 1]$ .若 $y = g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(0, 1) \cup (1, 2)$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{2}]$

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17、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{\tan (α + \frac{π}{4})}{\tan α} = - \frac{3}{2}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin 2 C}$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值.

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19、某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形 $A B C D$ 的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形 $O M N$ 中， $O M = 20 m$ ， $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，记 $∠ M O D = α$ ，共设计了两个方案：
方案一：如图1，点 $A, B$ 在半径 $O M$ 上，点 $C$ 在半径 $O N$ 上， $D$ 是扇形弧上的动点，此时矩形 $A B C D$ 的面积记为 $S_{1}$ ；
方案二：如图2，点 $A, B$ 分别在半径 $O M$ 和 $O N$ 上，点 $C$ ， $D$ 在扇形弧上， $A B // M N$ ，记此时矩形 $A B C D$ 的面积为 $S_{2}$ .

(1)、分别用 $α$ 表示两个方案中矩形 $A B C D$ 的面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ；

(2)、分别求出 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的最大值，并比较二者最大值的大小.

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20、已知函数 $f (x) = 9^{x} - m \cdot 3^{x} - 1$ .

(1)、若 $f (2) = - 1$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 1]$ 上的最小值；

(3)、设函数 $g (x) = 2^{|x| + 1}$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 2, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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