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相关试卷

1、已知 $\cos (\frac{3}{4} π - α) = \frac{1}{5}$ ，则 $\cos (\frac{π}{4} + α) =$ .

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2、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则 $|2 \vec{a} + 3 \vec{b}| =$ ．

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3、已知向量 $\vec{O A} = (3, - 4), \vec{O B} = (6, - 3), \vec{O C} = (5 - m, - 3 - m)$ ，若 $∠ A B C$ 为锐角，则实数 $m$ 可能的取值是（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1$

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4、在 $△ A B C$ 中，若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状可能为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、不存在

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5、已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $- 2$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ C、若 $0 < t < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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6、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点P在以 $A B$ 为直径的半圆上（正方形 $A B C D$ 内部，含边界），则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 16)$ B、 $[0, 16]$ C、 $(0, 4)$ D、 $[0, 4]$

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7、已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量．若 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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8、若 $α$ 是第三象限的角，则 $π - \frac{α}{2}$ 是( )

A、第一或第二象限的角 B、第一或第三象限的角 C、第二或第三象限的角 D、第二或第四象限的角

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} // \vec{a}$ ，那么向量 $\vec{b}$ 可以是（）

A、 $(- 1, - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(- 2, 1)$

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10、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1 (x \in R)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $1 < m < 3$ ，则曲线C为椭圆 B、若 $m < 1$ ，则曲线C为双曲线 C、若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D、若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于 $\sqrt{2}$ 大于1

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11、已知点 $A (3, \sqrt{21})$ ，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上有一点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则 $\frac{y_{0}^{2}}{2} + 2 |P A|$ 的最小值是（）

A、10 B、8 C、5 D、4

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12、已知直线 $l_{1} : x - y - 1 = 0, l_{2} : x - y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \vec{a}$ D、 $- \vec{b}$

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14、已知实数a，b，c满足 $a > b > c$ ， $a > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${(a c)}^{2} > {(b c)}^{2}$ B、 $2024^{a - c} > 2024^{a - b}$ C、 $2^{a} + 3 a > 2^{b} + 2 b$ D、若 $a + b = 2$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为2

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $a_{2} = \frac{5}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}$ ， $b_{n + 1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 为常数列；

(2)、求证： $2 < a_{n + 1} < a_{n}$ ；

(3)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证：当 $n > 1$ 时， $S_{n} < 2 n + \frac{8}{3}$ .

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{2^{n}} = n (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} + 2^{50}}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $b_{n} + b_{100 - n}$ 的值；

(3)、求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdot \cdot \cdot + b_{99}$ 的值.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $P B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A E ⊥ P C$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $E C D$ 夹角的余弦值.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且该数列满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ ， $a_{1} = - 2$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n} + 3\}$ 是等比数列，并写出其首项和公比；

(2)、若 $b_{n} = n (a_{n} + 3)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = 1$ ， $a_{8} = 5$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求证：数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列，并写出其首项与公差.

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20、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n - 8 (n \in N *)$ ，则 $a_{8} =$ ．

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