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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a (x + a) - \ln x (a \in R)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 3 \ln a + 2$ .

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2、盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球.

(1)、求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；

(2)、设两局比赛后盒中新球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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3、某校将进行篮球定点投测试，规则为：每人至多投 $3$ 次，先在 $M$ 处投一次三分球，投进得 $3$ 分，未投进不得分，以后均在 $N$ 处投两分球，每投进一次得 $2$ 分，未投进不得分．测试者累计得分高于 $3$ 分即通过测试，并终止投篮．已知甲同学两分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{2}$ ，三分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{10}$ ，乙同学两分球投篮命中的概率是 $\frac{2}{5}$ ，三分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{5}$ .

(1)、求甲同学通过测试的概率；

(2)、在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．

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4、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，过点 $M (1, t)$ 可作 $3$ 条与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线，则实数 $t$ 的取值范围是.

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5、有 $3$ 台车床加工同一型号的零件，第 $1$ 台车床加工的次品率为 $0.06$ ，第 $2$ 台车床加工的次品率为 $0.05$ ，第 $3$ 台车床加工的次品率为 $0.08$ ，加工出来的零件混放在一起，已知第 $1, 2, 3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $0.25$ ， $0.3$ ， $0.45$ ，现从中任意选取 $1$ 个零件，则取到的零件是次品的概率为.

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6、若函数 $f (x) = \ln x + a (x^{2} - 2 x + 1) (a \in R)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $a < 0$ 或 $a > 2$ B、 $0 < x_{1} < \frac{1}{2}$ C、 $f (x_{2}) < 0$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 1 - 2 \ln 2$

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7、用数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 组成无重复数字的四位数，则（）

A、可组成 $360$ 个四位数 B、可组成 $108$ 个是 $5$ 的倍数的四位数 C、可组成各位数字之和为偶数的四位数有 $180$ 个 D、若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第 $88$ 个数为 $2310$

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8、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < \frac{1}{2}$ ，则 $m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\sqrt{e}$ C、 $1$ D、 $e$

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9、某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{200}$ C、 $\frac{9}{19}$ D、 $\frac{18}{37}$

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10、6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（）种.

A、720 B、450 C、360 D、180

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11、我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2 024是“八合数”)，则“八合数”共有（）个.

A、35 B、56 C、120 D、165

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12、学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（）种不同的涂色方法.

A、108 B、96 C、84 D、48

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13、已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足 $\vec{P M} = (1 - y - z) \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，则 $|\vec{P M}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、3

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14、若函数 $f (x)$ 在定义域内存在区间 $[a, b]$ 满足以下条件：①函数在区间 $[a, b]$ 上是单调函数；②函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[t a, t b]$ （ $t$ 为常数且 $t > 0$ ），则称函数 $f (x)$ 在定义域内为“闭函数”．

(1)、当 $t = 1$ 时，证明： $f (x) = x^{2} - 2 x + 2 (x \geq 1)$ 为“闭函数”，并求出区间 $[a, b]$ ；

(2)、当 $t = 2$ 时，若函数 $f (x) = m - \sqrt{2 x + 1}$ 是“闭函数”，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若定义在 $(0, 2 \sqrt{3})$ 上的函数 $f (x) = |x + \frac{12}{x} - 8|$ 是“闭函数”，求实数 $t$ 的取值范围．

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15、已知函数 $f (x) = a - 1 - \frac{2}{a^{x} + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）为定义域上的奇函数．

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $g (x) = m \cdot 2^{x} - (m - 1) f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上有2个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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16、已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $tan (α + \frac{π}{3}) = \frac{13 \sqrt{3}}{9}$ ， $cos (α + β) = \frac{11}{14}$ ．

(1)、求 $sin (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求角 $β$ 的值．

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17、如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形 $O B C$ 去掉扇形 $O A D$ 构成）种植花卉，已知 $O B = 20$ 米， $O A = x$ 米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为 $θ$ 弧度．

(1)、求 $θ$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、记花卉周围栅栏的长度为 $y$ 米，试问 $x$ 取何值时， $y$ 的值最小?并求出最小值．

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18、（1）计算： ${log}_{2} 3 \times {log}_{3} 4 + lg 5 \times lg 20 + {(lg 2)}^{2}$ ；
（2）已知 $x {log}_{2} 3 = 1$ ，求 $9^{x} + 9^{- x}$ 的值．

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19、函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ ，已知点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 为函数 $f (x)$ 的一个对称中心， $x = \frac{7 π}{12}$ 为 $f (x)$ 的一条对称轴，且函数在 $[\frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值为．

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20、设函数 $y = f (x)$ ， $x \in R$ ，且 $f (0) = 3$ ， $\frac{f (\frac{1}{2})}{f (0)} = 3$ ， $\frac{f (1)}{f (\frac{1}{2})} = 3$ ， $\dots$ ， $\frac{f (\frac{n}{2})}{f (\frac{n - 1}{2})} = 3$ ， $n \in N^{*}$ ，写出符合条件的函数的解析式．

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