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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (\frac{a}{2} x - a e + e^{a}) ln x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 零点的个数；

(3)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq e (x - 1)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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2、如图，五面体 $A B C D M N$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为边长为 $4$ 的正方形， $M N = 1$ ．

(1)、证明： $A B / / M N$ ；

(2)、已知 $G$ 为线段 $C D$ 的中点，点 $M$ 在平面 $A B C D$ 上的投影恰为线段 $B G$ 的中点，直线 $M G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ ，求直线 $A N$ 与平面 $A D M$ 所成角的正弦值．

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3、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 a b cos C = a^{2} sin 2 B + b^{2} sin 2 A$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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4、仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：
样本编号 $i$
1
2
3
4
根茎长度 $x_{i}$
10
12
14
16
植株高度 $y_{i}$
62
86
112
132
参考数据： $\sum_{i = 1}^{4} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20, \sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2792, \sqrt{3490} \approx 59.1$ ．

(1)、由上表数据计算相关系数 $r$ ，并说明是否可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系（若 $|r| > 0.75$ ，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程.
附：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数 $r$ 的公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = n a_{n}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{11} \frac{a_{11}}{a_{k} a_{12 - k}} =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上有且仅有1个零点，则 $f (x)$ 最小正周期的最小值为．

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7、样本数据 $90, 80, 79, 85, 72, 74, 82, 77$ 的极差和第75百分位数分别为．

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8、已知定义在 $R$ 上且不恒为 $0$ 的函数 $f (x)$ 对任意 $x, y$ ，有 $f (x y + f (x)) = x f (y) + 2$ ，且 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，则（）

A、 $f (x)$ 的图象存在对称轴 B、 $f (x)$ 的图象有且仅有一个对称中心 C、 $f (x)$ 是单调函数 D、 $f (x)$ 为一次函数且表达式不唯一

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9、已知正数 $x, y$ 满足 $x - y + 1 = \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ ，则（）

A、 $lg (y - x + 1) > 0$ B、 $cos y > cos x$ C、 $2025^{y - x} > 1$ D、 $|y - 2| > |x - 2|$

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10、设曲线 $C : x = \sqrt{y^{2} + 1}$ ，过点 $(\sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $l$ 于点 $M, N$ ，若 $|A B| = |M N|$ ，则 $l$ 的斜率可以为（）

A、 $\sqrt{3} - 2$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 + \sqrt{3}$

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11、在四面体 $A B C D$ 中， $A B = B C = A C = B D = 2, A D = C D = \sqrt{2}$ ，且四面体 $A B C D$ 的各个顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{27}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{9}$ C、 $\frac{32 \sqrt{3} π}{27}$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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12、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点， $E$ 为线段 $A D$ （含端点）上一动点，若 $\vec{E D} = λ \vec{E B} + μ \vec{E C} (λ, μ \in R)$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $μ = 2 λ$ C、 $μ = 3 λ$ D、 $λ - μ = - \frac{1}{3}$

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13、已知 $2 tan (α + β) = 3 tan α = 6$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知 $\frac{2}{z} = 1 - i$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $2 + 3 i$ D、 $3i$

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15、已知集合 $A = \{x |x \geq 0\}, B = \{x |x \leq 3\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(3, + \infty)$

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16、随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： $cm$ ），按照区间 $[160, 165)$ ， $[165, 170)$ ， $[170, 175)$ ， $[175, 180)$ ， $[180, 185]$ 分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中 $x$ 的值及身高在 $170 cm$ 及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x}$ ， $S_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{y}$ ， $S_{2}^{2}$ ．记总的样本平均数为 $\bar{w}$ ，样本方差为 $S^{2}$ ，证明：
① $\bar{w} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ ；
② $S^{2} = \frac{1}{m + n} \{m [S_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{w})}^{2}] + n [S_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{w})}^{2}]\}$ ．

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17、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等，则下列结论正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $2 π R^{2}$ B、圆锥的侧面积为 $2 π R^{2}$ C、圆柱的侧面积与球的表面积相等 D、圆柱、圆锥、球的体积之比为 $3 : 1 : 2$

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18、已知 $a > b > 0 > c$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、 $\frac{b - c}{a - c} < \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2}{a} + b < \frac{2}{b} + a$

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19、定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足以下条件：① $f (- x) - f (x) = 0$ ， ②对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $f (- \sqrt{7})$ ， $f (π)$ ， $f (- 3)$ 的大小关系是（）

A、 $f (π) > f (- 3) > f (- \sqrt{7})$ B、 $f (π) > f (- \sqrt{7}) > f (- 3)$ C、 $f (π) < f (- 3) < f (- \sqrt{7})$ D、 $f (π) < f (- \sqrt{7}) < f (- 3)$

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20、设 $f (x) = x - 1 - ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{e}, f (\frac{1}{e}))$ 处的切线方程；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ；

(3)、证明：对于任意正整数 $n$ 都有 $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{3}}) \dots (1 + \frac{1}{2^{n}}) < 3$ 恒成立.

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样本编号 $i$	1	2	3	4
根茎长度 $x_{i}$	10	12	14	16
植株高度 $y_{i}$	62	86	112	132